Номер 5.105, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.105. Представьте в виде многочлена:

1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3$;

2) $(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3$;

3) $(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3$;

4) $(0,5 + 0,1b)^3$;

5) $(0,2m + 0,1n)^3$;

6) $(0,2x + 0,5y)^3$.

1)

Для преобразования выражения в многочлен используем формулу куба разности $(X-Y)^3=X^3-3X^2Y+3XY^2-Y^3$. В данном случае $X=\frac{1}{2}a$ и $Y=\frac{1}{3}b$.

$(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3 = (\frac{1}{2}a)^3 - 3 \cdot (\frac{1}{2}a)^2 \cdot (\frac{1}{3}b) + 3 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{1}{3}b)^2 - (\frac{1}{3}b)^3 = \frac{1}{8}a^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b + 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{27}b^3 = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{6}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{6}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$

2)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=\frac{1}{6}x$ и $Y=\frac{1}{2}y$.

$(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{6}x)^2 \cdot (\frac{1}{2}y) + 3 \cdot (\frac{1}{6}x) \cdot (\frac{1}{2}y)^2 + (\frac{1}{2}y)^3 = \frac{1}{216}x^3 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^2 \cdot \frac{1}{2}y + 3 \cdot \frac{1}{6}x \cdot \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{8}y^3 = \frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{24}x^2y + \frac{1}{8}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$.

Ответ: $\frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{24}x^2y + \frac{1}{8}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$

3)

Применим формулу куба разности $(X-Y)^3=X^3-3X^2Y+3XY^2-Y^3$. В данном случае $X=\frac{1}{2}m$ и $Y=\frac{1}{7}$.

$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3 = (\frac{1}{2}m)^3 - 3 \cdot (\frac{1}{2}m)^2 \cdot (\frac{1}{7}) + 3 \cdot (\frac{1}{2}m) \cdot (\frac{1}{7})^2 - (\frac{1}{7})^3 = \frac{1}{8}m^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}m^2 \cdot \frac{1}{7} + 3 \cdot \frac{1}{2}m \cdot \frac{1}{49} - \frac{1}{343} = \frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{28}m^2 + \frac{3}{98}m - \frac{1}{343}$.

Ответ: $\frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{28}m^2 + \frac{3}{98}m - \frac{1}{343}$

4)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=0,5$ и $Y=0,1b$.

$(0,5 + 0,1b)^3 = (0,5)^3 + 3 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,1b) + 3 \cdot (0,5) \cdot (0,1b)^2 + (0,1b)^3 = 0,125 + 3 \cdot 0,25 \cdot 0,1b + 1,5 \cdot 0,01b^2 + 0,001b^3 = 0,125 + 0,075b + 0,015b^2 + 0,001b^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $0,001b^3 + 0,015b^2 + 0,075b + 0,125$.

Ответ: $0,001b^3 + 0,015b^2 + 0,075b + 0,125$

5)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=0,2m$ и $Y=0,1n$.

$(0,2m + 0,1n)^3 = (0,2m)^3 + 3 \cdot (0,2m)^2 \cdot (0,1n) + 3 \cdot (0,2m) \cdot (0,1n)^2 + (0,1n)^3 = 0,008m^3 + 3 \cdot 0,04m^2 \cdot 0,1n + 3 \cdot 0,2m \cdot 0,01n^2 + 0,001n^3 = 0,008m^3 + 0,012m^2n + 0,006mn^2 + 0,001n^3$.

Ответ: $0,008m^3 + 0,012m^2n + 0,006mn^2 + 0,001n^3$

6)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=0,2x$ и $Y=0,5y$.

$(0,2x + 0,5y)^3 = (0,2x)^3 + 3 \cdot (0,2x)^2 \cdot (0,5y) + 3 \cdot (0,2x) \cdot (0,5y)^2 + (0,5y)^3 = 0,008x^3 + 3 \cdot 0,04x^2 \cdot 0,5y + 3 \cdot 0,2x \cdot 0,25y^2 + 0,125y^3 = 0,008x^3 + 0,06x^2y + 0,15xy^2 + 0,125y^3$.

Ответ: $0,008x^3 + 0,06x^2y + 0,15xy^2 + 0,125y^3$