Номер 5.110, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.110. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3;$

2) $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3)^3;$

3) $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3;$

4) $(0,3a^5 + 0,5a)^3;$

5) $(0,1x^4 - \frac{1}{2}x^3)^3;$

6) $(1,5m^3 + 0,3m^4)^3.$

1) Для того чтобы представить выражение $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. В данном случае $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{1}{3}b^2$. Вычислим каждый член многочлена по отдельности:
Первый член: $A^3 = (\frac{1}{2}a)^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 = \frac{1}{8}a^3$.
Второй член: $3A^2B = 3 \cdot (\frac{1}{2}a)^2 \cdot (\frac{1}{3}b^2) = 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b^2 = \frac{3}{12}a^2b^2 = \frac{1}{4}a^2b^2$.
Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{1}{3}b^2)^2 = 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^4 = \frac{3}{18}ab^4 = \frac{1}{6}ab^4$.
Четвертый член: $B^3 = (\frac{1}{3}b^2)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (b^2)^3 = \frac{1}{27}b^6$.
Теперь подставим полученные значения в формулу: $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3 = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6$.
Ответ: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6$.

2) Для выражения $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3)^3$ применим формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Здесь $A = \frac{1}{6}x^2$ и $B = \frac{1}{2}y^3$. Вычислим каждый член многочлена:
$A^3 = (\frac{1}{6}x^2)^3 = (\frac{1}{6})^3 \cdot (x^2)^3 = \frac{1}{216}x^6$.
$3A^2B = 3 \cdot (\frac{1}{6}x^2)^2 \cdot (\frac{1}{2}y^3) = 3 \cdot \frac{1}{36}x^4 \cdot \frac{1}{2}y^3 = \frac{3}{72}x^4y^3 = \frac{1}{24}x^4y^3$.
$3AB^2 = 3 \cdot (\frac{1}{6}x^2) \cdot (\frac{1}{2}y^3)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 \cdot \frac{1}{4}y^6 = \frac{3}{24}x^2y^6 = \frac{1}{8}x^2y^6$.
$B^3 = (\frac{1}{2}y^3)^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot (y^3)^3 = \frac{1}{8}y^9$.
Собираем многочлен: $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3)^3 = \frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^3 + \frac{1}{8}x^2y^6 + \frac{1}{8}y^9$.
Ответ: $\frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^3 + \frac{1}{8}x^2y^6 + \frac{1}{8}y^9$.

3) Раскроем скобки в выражении $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3$, используя формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. В этом случае $A = 10a^3$ и $B = \frac{1}{3}b^3$. Найдем каждый член:
$A^3 = (10a^3)^3 = 10^3 \cdot (a^3)^3 = 1000a^9$.
$3A^2B = 3 \cdot (10a^3)^2 \cdot (\frac{1}{3}b^3) = 3 \cdot 100a^6 \cdot \frac{1}{3}b^3 = 100a^6b^3$.
$3AB^2 = 3 \cdot (10a^3) \cdot (\frac{1}{3}b^3)^2 = 3 \cdot 10a^3 \cdot \frac{1}{9}b^6 = \frac{30}{9}a^3b^6 = \frac{10}{3}a^3b^6$.
$B^3 = (\frac{1}{3}b^3)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{27}b^9$.
Итоговый многочлен: $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3 = 1000a^9 + 100a^6b^3 + \frac{10}{3}a^3b^6 + \frac{1}{27}b^9$.
Ответ: $1000a^9 + 100a^6b^3 + \frac{10}{3}a^3b^6 + \frac{1}{27}b^9$.

4) Для выражения $(0,3a^5 + 0,5a)^3$ используем формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Здесь $A = 0,3a^5$ и $B = 0,5a$. Вычислим члены многочлена:
$A^3 = (0,3a^5)^3 = (0,3)^3 \cdot (a^5)^3 = 0,027a^{15}$.
$3A^2B = 3 \cdot (0,3a^5)^2 \cdot (0,5a) = 3 \cdot 0,09a^{10} \cdot 0,5a = 0,135a^{11}$.
$3AB^2 = 3 \cdot (0,3a^5) \cdot (0,5a)^2 = 3 \cdot 0,3a^5 \cdot 0,25a^2 = 0,225a^7$.
$B^3 = (0,5a)^3 = (0,5)^3 \cdot a^3 = 0,125a^3$.
Результат в виде многочлена: $(0,3a^5 + 0,5a)^3 = 0,027a^{15} + 0,135a^{11} + 0,225a^7 + 0,125a^3$.
Ответ: $0,027a^{15} + 0,135a^{11} + 0,225a^7 + 0,125a^3$.

5) Представим выражение $(0,1x^4 - \frac{1}{2}x^3)^3$ в виде многочлена, используя формулу куба разности $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. Для удобства расчетов представим $\frac{1}{2}$ как $0,5$. В данном случае $A = 0,1x^4$ и $B = 0,5x^3$. Вычислим каждый член:
$A^3 = (0,1x^4)^3 = (0,1)^3 \cdot (x^4)^3 = 0,001x^{12}$.
$3A^2B = 3 \cdot (0,1x^4)^2 \cdot (0,5x^3) = 3 \cdot 0,01x^8 \cdot 0,5x^3 = 0,015x^{11}$.
$3AB^2 = 3 \cdot (0,1x^4) \cdot (0,5x^3)^2 = 3 \cdot 0,1x^4 \cdot 0,25x^6 = 0,075x^{10}$.
$B^3 = (0,5x^3)^3 = (0,5)^3 \cdot (x^3)^3 = 0,125x^9$.
Подставим в формулу: $(0,1x^4 - 0,5x^3)^3 = 0,001x^{12} - 0,015x^{11} + 0,075x^{10} - 0,125x^9$.
Ответ: $0,001x^{12} - 0,015x^{11} + 0,075x^{10} - 0,125x^9$.

6) Для раскрытия скобок в выражении $(1,5m^3 + 0,3m^4)^3$ применим формулу куба суммы $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Для удобства расположим слагаемые в скобках по убыванию степеней переменной $m$: $(0,3m^4 + 1,5m^3)^3$. Теперь $A = 0,3m^4$ и $B = 1,5m^3$. Вычислим члены многочлена:
$A^3 = (0,3m^4)^3 = (0,3)^3 \cdot (m^4)^3 = 0,027m^{12}$.
$3A^2B = 3 \cdot (0,3m^4)^2 \cdot (1,5m^3) = 3 \cdot 0,09m^8 \cdot 1,5m^3 = 0,405m^{11}$.
$3AB^2 = 3 \cdot (0,3m^4) \cdot (1,5m^3)^2 = 3 \cdot 0,3m^4 \cdot 2,25m^6 = 2,025m^{10}$.
$B^3 = (1,5m^3)^3 = (1,5)^3 \cdot (m^3)^3 = 3,375m^9$.
Итоговый многочлен: $(0,3m^4 + 1,5m^3)^3 = 0,027m^{12} + 0,405m^{11} + 2,025m^{10} + 3,375m^9$.
Ответ: $0,027m^{12} + 0,405m^{11} + 2,025m^{10} + 3,375m^9$.