Номер 5.111, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.111. Упростите выражение:

1) $1000x^9 + 100x^6y^2 + \frac{10}{3}x^3y^4 + \frac{1}{27}y^6$;

2) $8x^5+36x^4+54x^3+27x^2$;

3) $125x^4y-225x^3y^2+135x^2y^3-27xy^4$;

4) $27a^3b-27a^3b^2+9a^3b^3-a^3b^4$.

1) Данное выражение представляет собой разложение формулы куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Чтобы это проверить, определим $a$ и $b$.

Первый член выражения $1000x^9 = (10x^3)^3$, следовательно, можно предположить, что $a = 10x^3$.

Последний член выражения $\frac{1}{27}y^6 = (\frac{1}{3}y^2)^3$, следовательно, можно предположить, что $b = \frac{1}{3}y^2$.

Теперь проверим, соответствуют ли остальные члены выражения формуле:

Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (10x^3)^2 \cdot (\frac{1}{3}y^2) = 3 \cdot 100x^6 \cdot \frac{1}{3}y^2 = 100x^6y^2$. Соответствует.

Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot (10x^3) \cdot (\frac{1}{3}y^2)^2 = 30x^3 \cdot \frac{1}{9}y^4 = \frac{10}{3}x^3y^4$. Соответствует.

Таким образом, исходное выражение является кубом суммы $10x^3$ и $\frac{1}{3}y^2$.

Ответ: $(10x^3 + \frac{1}{3}y^2)^3$.

2) Сначала вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$8x^5+36x^4+54x^3+27x^2 = x^2(8x^3+36x^2+54x+27)$.

Выражение в скобках $8x^3+36x^2+54x+27$ является разложением куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член в скобках $8x^3 = (2x)^3$, значит, $a=2x$.

Последний член в скобках $27 = 3^3$, значит, $b=3$.

Проверим средние члены:

$3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 9 \cdot 4x^2 = 36x^2$. Соответствует.

$3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 = 6x \cdot 9 = 54x$. Соответствует.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(2x+3)^3$.

Ответ: $x^2(2x+3)^3$.

3) Сначала вынесем за скобки общий множитель $xy$:

$125x^4y-225x^3y^2+135x^2y^3-27xy^4 = xy(125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3)$.

Выражение в скобках является разложением куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член в скобках $125x^3 = (5x)^3$, значит, $a=5x$.

Последний член в скобках $-27y^3 = -(3y)^3$, значит, $b=3y$.

Проверим средние члены:

$-3a^2b = -3 \cdot (5x)^2 \cdot (3y) = -3 \cdot 25x^2 \cdot 3y = -225x^2y$. Соответствует.

$3ab^2 = 3 \cdot (5x) \cdot (3y)^2 = 15x \cdot 9y^2 = 135xy^2$. Соответствует.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(5x-3y)^3$.

Ответ: $xy(5x-3y)^3$.

4) Сначала вынесем за скобки общий множитель $a^3b$:

$27a^3b-27a^3b^2+9a^3b^3-a^3b^4 = a^3b(27-27b+9b^2-b^3)$.

Выражение в скобках $27-27b+9b^2-b^3$ является разложением куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член в скобках $27 = 3^3$, значит, $a=3$.

Последний член в скобках $-b^3$, значит, $b=b$.

Проверим средние члены:

$-3a^2b = -3 \cdot 3^2 \cdot b = -3 \cdot 9 \cdot b = -27b$. Соответствует.

$3ab^2 = 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2$. Соответствует.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(3-b)^3$.

Ответ: $a^3b(3-b)^3$.