Страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.110. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3;$

2) $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3)^3;$

3) $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3;$

4) $(0,3a^5 + 0,5a)^3;$

5) $(0,1x^4 - \frac{1}{2}x^3)^3;$

6) $(1,5m^3 + 0,3m^4)^3.$

1) Для того чтобы представить выражение $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. В данном случае $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{1}{3}b^2$. Вычислим каждый член многочлена по отдельности:
Первый член: $A^3 = (\frac{1}{2}a)^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 = \frac{1}{8}a^3$.
Второй член: $3A^2B = 3 \cdot (\frac{1}{2}a)^2 \cdot (\frac{1}{3}b^2) = 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b^2 = \frac{3}{12}a^2b^2 = \frac{1}{4}a^2b^2$.
Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{1}{3}b^2)^2 = 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^4 = \frac{3}{18}ab^4 = \frac{1}{6}ab^4$.
Четвертый член: $B^3 = (\frac{1}{3}b^2)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (b^2)^3 = \frac{1}{27}b^6$.
Теперь подставим полученные значения в формулу: $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2)^3 = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6$.
Ответ: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6$.

2) Для выражения $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3)^3$ применим формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Здесь $A = \frac{1}{6}x^2$ и $B = \frac{1}{2}y^3$. Вычислим каждый член многочлена:
$A^3 = (\frac{1}{6}x^2)^3 = (\frac{1}{6})^3 \cdot (x^2)^3 = \frac{1}{216}x^6$.
$3A^2B = 3 \cdot (\frac{1}{6}x^2)^2 \cdot (\frac{1}{2}y^3) = 3 \cdot \frac{1}{36}x^4 \cdot \frac{1}{2}y^3 = \frac{3}{72}x^4y^3 = \frac{1}{24}x^4y^3$.
$3AB^2 = 3 \cdot (\frac{1}{6}x^2) \cdot (\frac{1}{2}y^3)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 \cdot \frac{1}{4}y^6 = \frac{3}{24}x^2y^6 = \frac{1}{8}x^2y^6$.
$B^3 = (\frac{1}{2}y^3)^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot (y^3)^3 = \frac{1}{8}y^9$.
Собираем многочлен: $(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3)^3 = \frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^3 + \frac{1}{8}x^2y^6 + \frac{1}{8}y^9$.
Ответ: $\frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^3 + \frac{1}{8}x^2y^6 + \frac{1}{8}y^9$.

3) Раскроем скобки в выражении $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3$, используя формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. В этом случае $A = 10a^3$ и $B = \frac{1}{3}b^3$. Найдем каждый член:
$A^3 = (10a^3)^3 = 10^3 \cdot (a^3)^3 = 1000a^9$.
$3A^2B = 3 \cdot (10a^3)^2 \cdot (\frac{1}{3}b^3) = 3 \cdot 100a^6 \cdot \frac{1}{3}b^3 = 100a^6b^3$.
$3AB^2 = 3 \cdot (10a^3) \cdot (\frac{1}{3}b^3)^2 = 3 \cdot 10a^3 \cdot \frac{1}{9}b^6 = \frac{30}{9}a^3b^6 = \frac{10}{3}a^3b^6$.
$B^3 = (\frac{1}{3}b^3)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{27}b^9$.
Итоговый многочлен: $(10a^3 + \frac{1}{3}b^3)^3 = 1000a^9 + 100a^6b^3 + \frac{10}{3}a^3b^6 + \frac{1}{27}b^9$.
Ответ: $1000a^9 + 100a^6b^3 + \frac{10}{3}a^3b^6 + \frac{1}{27}b^9$.

4) Для выражения $(0,3a^5 + 0,5a)^3$ используем формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Здесь $A = 0,3a^5$ и $B = 0,5a$. Вычислим члены многочлена:
$A^3 = (0,3a^5)^3 = (0,3)^3 \cdot (a^5)^3 = 0,027a^{15}$.
$3A^2B = 3 \cdot (0,3a^5)^2 \cdot (0,5a) = 3 \cdot 0,09a^{10} \cdot 0,5a = 0,135a^{11}$.
$3AB^2 = 3 \cdot (0,3a^5) \cdot (0,5a)^2 = 3 \cdot 0,3a^5 \cdot 0,25a^2 = 0,225a^7$.
$B^3 = (0,5a)^3 = (0,5)^3 \cdot a^3 = 0,125a^3$.
Результат в виде многочлена: $(0,3a^5 + 0,5a)^3 = 0,027a^{15} + 0,135a^{11} + 0,225a^7 + 0,125a^3$.
Ответ: $0,027a^{15} + 0,135a^{11} + 0,225a^7 + 0,125a^3$.

5) Представим выражение $(0,1x^4 - \frac{1}{2}x^3)^3$ в виде многочлена, используя формулу куба разности $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. Для удобства расчетов представим $\frac{1}{2}$ как $0,5$. В данном случае $A = 0,1x^4$ и $B = 0,5x^3$. Вычислим каждый член:
$A^3 = (0,1x^4)^3 = (0,1)^3 \cdot (x^4)^3 = 0,001x^{12}$.
$3A^2B = 3 \cdot (0,1x^4)^2 \cdot (0,5x^3) = 3 \cdot 0,01x^8 \cdot 0,5x^3 = 0,015x^{11}$.
$3AB^2 = 3 \cdot (0,1x^4) \cdot (0,5x^3)^2 = 3 \cdot 0,1x^4 \cdot 0,25x^6 = 0,075x^{10}$.
$B^3 = (0,5x^3)^3 = (0,5)^3 \cdot (x^3)^3 = 0,125x^9$.
Подставим в формулу: $(0,1x^4 - 0,5x^3)^3 = 0,001x^{12} - 0,015x^{11} + 0,075x^{10} - 0,125x^9$.
Ответ: $0,001x^{12} - 0,015x^{11} + 0,075x^{10} - 0,125x^9$.

6) Для раскрытия скобок в выражении $(1,5m^3 + 0,3m^4)^3$ применим формулу куба суммы $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Для удобства расположим слагаемые в скобках по убыванию степеней переменной $m$: $(0,3m^4 + 1,5m^3)^3$. Теперь $A = 0,3m^4$ и $B = 1,5m^3$. Вычислим члены многочлена:
$A^3 = (0,3m^4)^3 = (0,3)^3 \cdot (m^4)^3 = 0,027m^{12}$.
$3A^2B = 3 \cdot (0,3m^4)^2 \cdot (1,5m^3) = 3 \cdot 0,09m^8 \cdot 1,5m^3 = 0,405m^{11}$.
$3AB^2 = 3 \cdot (0,3m^4) \cdot (1,5m^3)^2 = 3 \cdot 0,3m^4 \cdot 2,25m^6 = 2,025m^{10}$.
$B^3 = (1,5m^3)^3 = (1,5)^3 \cdot (m^3)^3 = 3,375m^9$.
Итоговый многочлен: $(0,3m^4 + 1,5m^3)^3 = 0,027m^{12} + 0,405m^{11} + 2,025m^{10} + 3,375m^9$.
Ответ: $0,027m^{12} + 0,405m^{11} + 2,025m^{10} + 3,375m^9$.

5.111. Упростите выражение:

1) $1000x^9 + 100x^6y^2 + \frac{10}{3}x^3y^4 + \frac{1}{27}y^6$;

2) $8x^5+36x^4+54x^3+27x^2$;

3) $125x^4y-225x^3y^2+135x^2y^3-27xy^4$;

4) $27a^3b-27a^3b^2+9a^3b^3-a^3b^4$.

1) Данное выражение представляет собой разложение формулы куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Чтобы это проверить, определим $a$ и $b$.

Первый член выражения $1000x^9 = (10x^3)^3$, следовательно, можно предположить, что $a = 10x^3$.

Последний член выражения $\frac{1}{27}y^6 = (\frac{1}{3}y^2)^3$, следовательно, можно предположить, что $b = \frac{1}{3}y^2$.

Теперь проверим, соответствуют ли остальные члены выражения формуле:

Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (10x^3)^2 \cdot (\frac{1}{3}y^2) = 3 \cdot 100x^6 \cdot \frac{1}{3}y^2 = 100x^6y^2$. Соответствует.

Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot (10x^3) \cdot (\frac{1}{3}y^2)^2 = 30x^3 \cdot \frac{1}{9}y^4 = \frac{10}{3}x^3y^4$. Соответствует.

Таким образом, исходное выражение является кубом суммы $10x^3$ и $\frac{1}{3}y^2$.

Ответ: $(10x^3 + \frac{1}{3}y^2)^3$.

2) Сначала вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$8x^5+36x^4+54x^3+27x^2 = x^2(8x^3+36x^2+54x+27)$.

Выражение в скобках $8x^3+36x^2+54x+27$ является разложением куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член в скобках $8x^3 = (2x)^3$, значит, $a=2x$.

Последний член в скобках $27 = 3^3$, значит, $b=3$.

Проверим средние члены:

$3a^2b = 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 9 \cdot 4x^2 = 36x^2$. Соответствует.

$3ab^2 = 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 = 6x \cdot 9 = 54x$. Соответствует.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(2x+3)^3$.

Ответ: $x^2(2x+3)^3$.

3) Сначала вынесем за скобки общий множитель $xy$:

$125x^4y-225x^3y^2+135x^2y^3-27xy^4 = xy(125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3)$.

Выражение в скобках является разложением куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член в скобках $125x^3 = (5x)^3$, значит, $a=5x$.

Последний член в скобках $-27y^3 = -(3y)^3$, значит, $b=3y$.

Проверим средние члены:

$-3a^2b = -3 \cdot (5x)^2 \cdot (3y) = -3 \cdot 25x^2 \cdot 3y = -225x^2y$. Соответствует.

$3ab^2 = 3 \cdot (5x) \cdot (3y)^2 = 15x \cdot 9y^2 = 135xy^2$. Соответствует.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(5x-3y)^3$.

Ответ: $xy(5x-3y)^3$.

4) Сначала вынесем за скобки общий множитель $a^3b$:

$27a^3b-27a^3b^2+9a^3b^3-a^3b^4 = a^3b(27-27b+9b^2-b^3)$.

Выражение в скобках $27-27b+9b^2-b^3$ является разложением куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член в скобках $27 = 3^3$, значит, $a=3$.

Последний член в скобках $-b^3$, значит, $b=b$.

Проверим средние члены:

$-3a^2b = -3 \cdot 3^2 \cdot b = -3 \cdot 9 \cdot b = -27b$. Соответствует.

$3ab^2 = 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2$. Соответствует.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в $(3-b)^3$.

Ответ: $a^3b(3-b)^3$.

5.112. Разложите на множители:

1) $(a-b)^3-a^2+2ab-b^2$;

2) $x^2+y^2+2xy-(x+y)^3$;

3) $a^2-b^2-(a-b)^3$;

4) $(m+2n)^3-m^2+4n^2$;

5) $(c-2y)^2+c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$;

6) $(x+3y)^2-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

1) Исходное выражение: $(a-b)^3-a^2+2ab-b^2$.

Сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки: $-a^2+2ab-b^2 = -(a^2-2ab+b^2)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $(a-b)^3 - (a-b)^2$.

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a-b)^2$ за скобки: $(a-b)^2((a-b)-1)$.

Упростим выражение во второй скобке: $(a-b)^2(a-b-1)$.

Ответ: $(a-b)^2(a-b-1)$.

2) Исходное выражение: $x^2+y^2+2xy-(x+y)^3$.

Первые три члена представляют собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $(x+y)^2 - (x+y)^3$.

Вынесем общий множитель $(x+y)^2$ за скобки: $(x+y)^2(1-(x+y))$.

Раскроем скобки внутри второго множителя: $(x+y)^2(1-x-y)$.

Ответ: $(x+y)^2(1-x-y)$.

3) Исходное выражение: $a^2-b^2-(a-b)^3$.

Первые два члена представляют собой разность квадратов по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим это в исходное выражение: $(a-b)(a+b) - (a-b)^3$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки: $(a-b)((a+b)-(a-b)^2)$.

Раскроем квадрат разности во второй скобке: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Получим: $(a-b)(a+b-(a^2-2ab+b^2))$.

Раскроем внутренние скобки: $(a-b)(a+b-a^2+2ab-b^2)$.

Ответ: $(a-b)(a+b-a^2+2ab-b^2)$.

4) Исходное выражение: $(m+2n)^3-m^2+4n^2$.

Перегруппируем последние два члена: $-m^2+4n^2 = 4n^2-m^2$.

Это выражение является разностью квадратов: $4n^2-m^2 = (2n)^2-m^2 = (2n-m)(2n+m)$.

Заметим, что $(2n+m)$ это то же самое, что и $(m+2n)$.

Исходное выражение можно переписать как: $(m+2n)^3 + (2n-m)(m+2n)$.

Вынесем общий множитель $(m+2n)$ за скобки: $(m+2n)((m+2n)^2 + (2n-m))$.

Раскроем квадрат суммы в скобках: $(m+2n)^2 = m^2+4mn+4n^2$.

Подставим и упростим выражение во второй скобке: $(m+2n)(m^2+4mn+4n^2 + 2n-m)$.

Ответ: $(m+2n)(m^2+4mn+4n^2-m+2n)$.

5) Исходное выражение: $(c-2y)^2+c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$.

Это выражение соответствует формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Пусть $a=c$ и $b=2y$. Проверим: $a^3 = c^3$, $3a^2b = 3c^2(2y) = 6c^2y$, $3ab^2 = 3c(2y)^2 = 12cy^2$, $b^3 = (2y)^3 = 8y^3$.

Следовательно, $c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3 = (c-2y)^3$.

Подставим это в исходное выражение: $(c-2y)^2 + (c-2y)^3$.

Вынесем общий множитель $(c-2y)^2$ за скобки: $(c-2y)^2(1+(c-2y))$.

Упростим выражение во второй скобке: $(c-2y)^2(1+c-2y)$.

Ответ: $(c-2y)^2(1+c-2y)$.

6) Исходное выражение: $(x+3y)^2-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

Вынесем знак минус за скобки: $-(x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3)$.

Выражение в скобках соответствует формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Пусть $a=x$ и $b=3y$. Проверим: $a^3 = x^3$, $3a^2b = 3x^2(3y) = 9x^2y$, $3ab^2 = 3x(3y)^2 = 27xy^2$, $b^3 = (3y)^3 = 27y^3$.

Следовательно, $x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3 = (x+3y)^3$.

Подставим это в исходное выражение: $(x+3y)^2 - (x+3y)^3$.

Вынесем общий множитель $(x+3y)^2$ за скобки: $(x+3y)^2(1-(x+3y))$.

Раскроем скобки внутри второго множителя: $(x+3y)^2(1-x-3y)$.

Ответ: $(x+3y)^2(1-x-3y)$.

5.113. Решите уравнение:

1) $(x+2)^3=x^3+8;$

2) $(3x-1)^3=27x^3-1.$

1) $(x+2)^3=x^3+8$

Для решения данного уравнения раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$.

$(x+2)^3 = x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3+6x^2+12x+8$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x^3+6x^2+12x+8 = x^3+8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + 6x^2 + 12x + (8 - 8) = 0$

$6x^2+12x=0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x+2)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

1. $6x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $x+2 = 0 \implies x_2 = -2$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 0$.

2) $(3x-1)^3=27x^3-1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу куба разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. В нашем случае $a=3x$ и $b=1$.

$(3x-1)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 - 1^3 = 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим выражение:

$(27x^3 - 27x^3) - 27x^2 + 9x + (-1 + 1) = 0$

$-27x^2+9x=0$

Вынесем общий множитель $-9x$ за скобки:

$-9x(3x-1)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $-9x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $3x-1 = 0 \implies 3x=1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; \frac{1}{3}$.

5.114. Упростите выражение и вычислите его значение:

1) $8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3+12x^2-12xy+3y^2$ при $x=1,1$; $y=1,2$

2) $3(m-1)^2+(m+2)(m^2-2m+4)-(m+1)^3$ при $m=-\frac{1}{3}$;

3) $(a-1)^3-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a^2+a+1)$ при $a=-2.

1) $8x³-12x²y+6xy²-y³+12x²-12xy+3y²$ при $x=1,1$; $y=1,2$

Сначала упростим выражение. Сгруппируем слагаемые:

$(8x³-12x²y+6xy²-y³) + (12x²-12xy+3y²)$

Первая группа слагаемых представляет собой формулу куба разности $(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³$, где $a=2x$ и $b=y$:

$8x³-12x²y+6xy²-y³ = (2x)³ - 3 \cdot (2x)² \cdot y + 3 \cdot 2x \cdot y² - y³ = (2x-y)³$

Во второй группе вынесем общий множитель 3 за скобки. Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)² = a²-2ab+b²$, где $a=2x$ и $b=y$:

$12x²-12xy+3y² = 3(4x²-4xy+y²) = 3((2x)² - 2 \cdot 2x \cdot y + y²) = 3(2x-y)²$

Таким образом, исходное выражение упрощается до вида:

$(2x-y)³ + 3(2x-y)²$

Теперь вычислим его значение при $x=1,1$ и $y=1,2$.

Сначала найдем значение выражения $2x-y$:

$2x-y = 2 \cdot 1,1 - 1,2 = 2,2 - 1,2 = 1$

Подставим полученное значение в упрощенное выражение:

$1³ + 3 \cdot 1² = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$

Ответ: 4

2) $3(m-1)²+(m+2)(m²-2m+4)-(m+1)³$ при $m = -\frac{1}{3}$

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Раскроем квадрат разности: $3(m-1)² = 3(m² - 2m + 1) = 3m² - 6m + 3$.

Второе слагаемое является формулой суммы кубов $(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³$, где $a=m$ и $b=2$:

$(m+2)(m²-2m+4) = m³+2³ = m³+8$

Третье слагаемое — куб суммы $(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³$:

$-(m+1)³ = -(m³+3m²+3m+1) = -m³-3m²-3m-1$

Теперь сложим все части:

$(3m² - 6m + 3) + (m³+8) + (-m³-3m²-3m-1) = 3m² - 6m + 3 + m³+8 - m³-3m²-3m-1$

Приведем подобные слагаемые:

$(m³-m³) + (3m²-3m²) + (-6m-3m) + (3+8-1) = 0 + 0 - 9m + 10 = 10 - 9m$

Теперь вычислим значение выражения при $m = -\frac{1}{3}$:

$10 - 9 \cdot (-\frac{1}{3}) = 10 + \frac{9}{3} = 10 + 3 = 13$

Ответ: 13

3) $(a-1)³-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a²+a+1)$ при $a=-2$

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Первое слагаемое — куб разности: $(a-1)³ = a³ - 3a² + 3a - 1$.

Во втором слагаемом используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x²-y²$:

$-4a(a+1)(a-1) = -4a(a²-1) = -4a³+4a$

Третье слагаемое содержит формулу разности кубов $(x-y)(x²+xy+y²) = x³-y³$:

$3(a-1)(a²+a+1) = 3(a³-1³) = 3(a³-1) = 3a³-3$

Теперь сложим все части:

$(a³ - 3a² + 3a - 1) + (-4a³+4a) + (3a³-3) = a³ - 3a² + 3a - 1 - 4a³+4a + 3a³-3$

Приведем подобные слагаемые:

$(a³ - 4a³ + 3a³) - 3a² + (3a+4a) + (-1-3) = 0 - 3a² + 7a - 4 = -3a² + 7a - 4$

Теперь вычислим значение выражения при $a=-2$:

$-3(-2)² + 7(-2) - 4 = -3 \cdot 4 - 14 - 4 = -12 - 14 - 4 = -30$

Ответ: -30

5.115. Вместо знака * впишите одночлен такой, чтобы получилось тождество:

1) $(2a-*)^3=8a^3-36a^2b+54ab^2-(*)^3;$

2) $\left(* + \frac{y}{2}\right)^3 = 27x^3 + \frac{27}{2} x^2y + \frac{3 \cdot *}{4} y^2 + \frac{y^3}{8}.$

1) Данное тождество основано на формуле сокращенного умножения для куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В левой части равенства $(2a-*)^3$ первым слагаемым является $2a$. Обозначим искомый одночлен (то, что стоит на месте знака $*$) через $X$. Тогда левая часть примет вид $(2a - X)^3$.

Раскроем скобки, используя формулу:

$(2a - X)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot X + 3 \cdot (2a) \cdot X^2 - X^3 = 8a^3 - 12a^2X + 6aX^2 - X^3$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества: $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - (*)^3$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменных. Сравним вторые члены разложения:

$-12a^2X = -36a^2b$

Разделим обе части на $-12a^2$, чтобы найти $X$:

$X = \frac{-36a^2b}{-12a^2} = 3b$

Проведем проверку, сравнив третьи члены. В нашем разложении это $6aX^2$. Подставим в него найденное значение $X=3b$:

$6a(3b)^2 = 6a(9b^2) = 54ab^2$

Этот результат совпадает с третьим членом в правой части тождества, следовательно, одночлен найден верно.

Ответ: $3b$

2) Данное тождество основано на формуле сокращенного умножения для куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В левой части равенства $(* + \frac{y}{2})^3$ вторым слагаемым является $\frac{y}{2}$. Обозначим искомый одночлен через $X$. Тогда левая часть примет вид $(X + \frac{y}{2})^3$.

Раскроем скобки, используя формулу:

$(X + \frac{y}{2})^3 = X^3 + 3 \cdot X^2 \cdot (\frac{y}{2}) + 3 \cdot X \cdot (\frac{y}{2})^2 + (\frac{y}{2})^3 = X^3 + \frac{3}{2}X^2y + \frac{3}{4}Xy^2 + \frac{y^3}{8}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества: $27x^3 + \frac{27}{2}x^2y + \frac{3 \cdot *}{4}y^2 + \frac{y^3}{8}$.

Сравним первые члены разложения:

$X^3 = 27x^3$

Чтобы найти $X$, извлечем кубический корень из обеих частей равенства:

$X = \sqrt[3]{27x^3} = 3x$

Проведем проверку, сравнив вторые члены. В нашем разложении это $\frac{3}{2}X^2y$. Подставим в него найденное значение $X=3x$:

$\frac{3}{2}(3x)^2y = \frac{3}{2}(9x^2)y = \frac{27}{2}x^2y$

Этот результат совпадает со вторым членом в правой части тождества. Третий член в исходном равенстве $\frac{3 \cdot *}{4}y^2$ также подтверждает, что вместо $*$ должен стоять $X$, так как $\frac{3}{4}Xy^2 = \frac{3 \cdot (3x)}{4}y^2$. Следовательно, одночлен найден верно.

Ответ: $3x$