Страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.78. Разложите на множители:

1) $-a^3+b^3$;
2) $-x^3+\frac{1}{y^3}$;
3) $a^6+1$;
4) $x^3y^3-1$;
5) $m^3n^3+8$;
6) $-\frac{1}{8}-a^3$.

1) Для разложения на множители выражения $-a^3+b^3$ поменяем слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид формулы разности кубов:

$-a^3+b^3 = b^3 - a^3$

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$. В данном случае $A=b$ и $B=a$.

$b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + b \cdot a + a^2) = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$

Запишем второй множитель в стандартном порядке:

$(b - a)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $(b - a)(a^2 + ab + b^2)$.

2) Переставим слагаемые местами и представим выражение в виде разности кубов:

$-x^3 + \frac{1}{y^3} = \frac{1}{y^3} - x^3 = (\frac{1}{y})^3 - x^3$

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{y}$ и $B = x$.

$(\frac{1}{y})^3 - x^3 = (\frac{1}{y} - x)((\frac{1}{y})^2 + \frac{1}{y} \cdot x + x^2) = (\frac{1}{y} - x)(\frac{1}{y^2} + \frac{x}{y} + x^2)$

Ответ: $(\frac{1}{y} - x)(\frac{1}{y^2} + \frac{x}{y} + x^2)$.

3) Представим выражение $a^6+1$ в виде суммы кубов. Для этого заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $1 = 1^3$.

$a^6+1 = (a^2)^3 + 1^3$

Теперь применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a^2$ и $B = 1$.

$(a^2)^3 + 1^3 = (a^2 + 1)((a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2) = (a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)$

Ответ: $(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)$.

4) Представим выражение $x^3y^3-1$ в виде разности кубов. Заметим, что $x^3y^3 = (xy)^3$ и $1 = 1^3$.

$x^3y^3 - 1 = (xy)^3 - 1^3$

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = xy$ и $B = 1$.

$(xy)^3 - 1^3 = (xy - 1)((xy)^2 + xy \cdot 1 + 1^2) = (xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$

Ответ: $(xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.

5) Представим выражение $m^3n^3+8$ в виде суммы кубов. Заметим, что $m^3n^3 = (mn)^3$ и $8 = 2^3$.

$m^3n^3 + 8 = (mn)^3 + 2^3$

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = mn$ и $B = 2$.

$(mn)^3 + 2^3 = (mn + 2)((mn)^2 - mn \cdot 2 + 2^2) = (mn + 2)(m^2n^2 - 2mn + 4)$

Ответ: $(mn + 2)(m^2n^2 - 2mn + 4)$.

6) Представим выражение $\frac{1}{8}-a^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.

$\frac{1}{8} - a^3 = (\frac{1}{2})^3 - a^3$

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{2}$ и $B = a$.

$(\frac{1}{2})^3 - a^3 = (\frac{1}{2} - a)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a + a^2) = (\frac{1}{2} - a)(\frac{1}{4} + \frac{a}{2} + a^2)$

Ответ: $(\frac{1}{2} - a)(\frac{1}{4} + \frac{a}{2} + a^2)$.

5.79. Упростите выражение:

1) $(a+2)(a^2-2a+4)$;

2) $(x+3)(x^2-3x+9)$;

3) $(m-4)(m^2+4m+16)$;

4) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$;

5) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$;

6) $(1+c)(1-c+c^2)$.

1) Для упрощения выражения $(a+2)(a^2-2a+4)$ воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.
В данном случае $x=a$ и $y=2$. Проверим соответствие второго множителя: $x^2=a^2$, $xy=a \cdot 2 = 2a$, $y^2=2^2=4$.
Выражение $(a^2-2a+4)$ полностью соответствует части формулы $(x^2-xy+y^2)$.
Следовательно, $(a+2)(a^2-2a+4) = a^3 + 2^3 = a^3+8$.
Ответ: $a^3+8$.

2) Для упрощения выражения $(x+3)(x^2-3x+9)$ применим ту же формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверим второй множитель: $a^2=x^2$, $ab=x \cdot 3=3x$, $b^2=3^2=9$.
Выражение $(x^2-3x+9)$ соответствует $(a^2-ab+b^2)$.
Таким образом, $(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3+27$.
Ответ: $x^3+27$.

3) Для упрощения выражения $(m-4)(m^2+4m+16)$ воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
В этом примере $a=m$ и $b=4$. Проверим второй множитель: $a^2=m^2$, $ab=m \cdot 4=4m$, $b^2=4^2=16$.
Выражение $(m^2+4m+16)$ соответствует $(a^2+ab+b^2)$.
Следовательно, $(m-4)(m^2+4m+16) = m^3 - 4^3 = m^3-64$.
Ответ: $m^3-64$.

4) Выражение $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$ упрощается с помощью формулы разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
Здесь $a=2x$ и $b=y$. Проверим второй множитель: $a^2=(2x)^2=4x^2$, $ab=(2x)y=2xy$, $b^2=y^2$.
Выражение $(4x^2+2xy+y^2)$ соответствует $(a^2+ab+b^2)$.
Поэтому, $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3-y^3$.
Ответ: $8x^3-y^3$.

5) Для упрощения $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$ снова используем формулу разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
В данном случае $x=3a$ и $y=2b$. Проверим второй множитель: $x^2=(3a)^2=9a^2$, $xy=(3a)(2b)=6ab$, $y^2=(2b)^2=4b^2$.
Выражение $(9a^2+6ab+4b^2)$ соответствует $(x^2+xy+y^2)$.
Следовательно, $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3-8b^3$.
Ответ: $27a^3-8b^3$.

6) Выражение $(1+c)(1-c+c^2)$ можно упростить по формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
Здесь $a=1$ и $b=c$. Проверим второй множитель: $a^2=1^2=1$, $ab=1 \cdot c = c$, $b^2=c^2$.
Выражение $(1-c+c^2)$ соответствует $(a^2-ab+b^2)$.
Таким образом, $(1+c)(1-c+c^2) = 1^3 + c^3 = 1+c^3$.
Ответ: $1+c^3$.

5.80. Запишите выражение в виде произведения:

1) $a^3+b^6$;

2) $x^9-y^3$;

3) $x^6+y^6$;

4) $x^6+y^3$;

5) $p^3-q^9$;

6) $m^9-n^9$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

1) Чтобы представить выражение $a^3+b^6$ в виде произведения, представим его как сумму кубов. Для этого перепишем $b^6$ как $(b^2)^3$.
Выражение принимает вид: $a^3 + (b^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где в качестве первого слагаемого выступает $a$, а в качестве второго — $b^2$.
$a^3 + (b^2)^3 = (a+b^2)(a^2 - a \cdot b^2 + (b^2)^2) = (a+b^2)(a^2-ab^2+b^4)$.
Ответ: $(a+b^2)(a^2-ab^2+b^4)$.

2) Чтобы представить выражение $x^9-y^3$ в виде произведения, представим его как разность кубов. Для этого перепишем $x^9$ как $(x^3)^3$.
Выражение принимает вид: $(x^3)^3 - y^3$.
Применим формулу разности кубов, где уменьшаемое — $x^3$, а вычитаемое — $y$.
$(x^3)^3 - y^3 = (x^3-y)((x^3)^2 + x^3 \cdot y + y^2) = (x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$.
Ответ: $(x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$.

3) Чтобы представить выражение $x^6+y^6$ в виде произведения, представим его как сумму кубов. Для этого перепишем $x^6$ как $(x^2)^3$ и $y^6$ как $(y^2)^3$.
Выражение принимает вид: $(x^2)^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где первое слагаемое — $x^2$, а второе — $y^2$.
$(x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2+y^2)((x^2)^2 - x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.
Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.

4) Чтобы представить выражение $x^6+y^3$ в виде произведения, представим его как сумму кубов. Для этого перепишем $x^6$ как $(x^2)^3$.
Выражение принимает вид: $(x^2)^3 + y^3$.
Применим формулу суммы кубов, где первое слагаемое — $x^2$, а второе — $y$.
$(x^2)^3 + y^3 = (x^2+y)((x^2)^2 - x^2 \cdot y + y^2) = (x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)$.
Ответ: $(x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)$.

5) Чтобы представить выражение $p^3-q^9$ в виде произведения, представим его как разность кубов. Для этого перепишем $q^9$ как $(q^3)^3$.
Выражение принимает вид: $p^3 - (q^3)^3$.
Применим формулу разности кубов, где уменьшаемое — $p$, а вычитаемое — $q^3$.
$p^3 - (q^3)^3 = (p-q^3)(p^2 + p \cdot q^3 + (q^3)^2) = (p-q^3)(p^2+pq^3+q^6)$.
Ответ: $(p-q^3)(p^2+pq^3+q^6)$.

6) Выражение $m^9-n^9$ можно представить как разность кубов. Перепишем его в виде $(m^3)^3 - (n^3)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=m^3$ и $y=n^3$.
$(m^3)^3 - (n^3)^3 = (m^3-n^3)((m^3)^2 + m^3n^3 + (n^3)^2) = (m^3-n^3)(m^6+m^3n^3+n^6)$.
Заметим, что первый множитель $m^3-n^3$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше по той же формуле.
$m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.
Подставив это в наше выражение, получим окончательное разложение на множители:
$(m-n)(m^2+mn+n^2)(m^6+m^3n^3+n^6)$.
Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2)(m^6+m^3n^3+n^6)$.

5.81. Разложите на множители:

1) $m^3+n^3$;

2) $x^9-y^6$;

3) $a^6-8$;

4) $b^9+27$.

1) Для разложения выражения $m^3+n^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В данном случае $A=m$ и $B=n$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$m^3+n^3 = (m+n)(m^2-m \cdot n+n^2) = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Ответ: $(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

2) Представим выражение $x^9-y^6$ в виде разности кубов. Для этого запишем степени в следующем виде: $x^9 = (x^3)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.
Таким образом, мы получаем выражение вида $A^3-B^3$, где $A=x^3$ и $B=y^2$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Подставим вместо $A$ и $B$ соответствующие выражения:
$(x^3)^3 - (y^2)^3 = (x^3-y^2)((x^3)^2 + x^3 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^3-y^2)(x^6+x^3y^2+y^4)$.
Ответ: $(x^3-y^2)(x^6+x^3y^2+y^4)$.

3) Для разложения выражения $a^6-8$ на множители, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $8 = 2^3$.
Таким образом, мы имеем выражение вида $A^3-B^3$, где $A=a^2$ и $B=2$.
Применяем формулу разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Подставляем $A=a^2$ и $B=2$ в формулу:
$(a^2)^3 - 2^3 = (a^2-2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2-2)(a^4+2a^2+4)$.
Ответ: $(a^2-2)(a^4+2a^2+4)$.

4) Выражение $b^9+27$ можно разложить на множители, представив его как сумму кубов. Заметим, что $b^9=(b^3)^3$ и $27=3^3$.
Мы получили выражение вида $A^3+B^3$, где $A=b^3$ и $B=3$.
Используем формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Подставляем наши значения $A$ и $B$ в формулу:
$(b^3)^3 + 3^3 = (b^3+3)((b^3)^2 - b^3 \cdot 3 + 3^2) = (b^3+3)(b^6-3b^3+9)$.
Ответ: $(b^3+3)(b^6-3b^3+9)$.

5.82. Представьте в виде произведения:

1) $x^3y^3+1;$

2) $27-a^3b^3;$

3) $a^6c^3-b^3;$

4) $1-x^3y^3;$

5) $a^3b^3+64;$

6) $27x^3-y^3z^3.$

1) Чтобы представить выражение $x^3y^3+1$ в виде произведения, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба: $x^3y^3 = (xy)^3$ $1 = 1^3$
Таким образом, наше выражение - это сумма кубов $(xy)^3 + 1^3$.
Подставим $a=xy$ и $b=1$ в формулу:
$(xy)^3 + 1^3 = (xy+1)((xy)^2 - xy \cdot 1 + 1^2) = (xy+1)(x^2y^2-xy+1)$.
Ответ: $(xy+1)(x^2y^2-xy+1)$.

2) Чтобы представить выражение $27-a^3b^3$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $27 = 3^3$ $a^3b^3 = (ab)^3$
Таким образом, наше выражение - это разность кубов $3^3 - (ab)^3$.
Подставим $a=3$ и $b=ab$ в формулу:
$3^3 - (ab)^3 = (3-ab)(3^2 + 3 \cdot ab + (ab)^2) = (3-ab)(9+3ab+a^2b^2)$.
Ответ: $(3-ab)(9+3ab+a^2b^2)$.

3) Для выражения $a^6c^3-b^3$ применим формулу разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Представим первый член в виде куба, используя свойство степеней $(x^m)^n=x^{mn}$: $a^6c^3 = (a^2)^3c^3 = (a^2c)^3$
Второй член уже является кубом: $b^3$.
Таким образом, мы имеем разность кубов $(a^2c)^3 - b^3$.
Подставим $A=a^2c$ и $B=b$ в формулу:
$(a^2c)^3 - b^3 = (a^2c-b)((a^2c)^2 + a^2c \cdot b + b^2) = (a^2c-b)(a^4c^2+a^2bc+b^2)$.
Ответ: $(a^2c-b)(a^4c^2+a^2bc+b^2)$.

4) Для выражения $1-x^3y^3$ используем формулу разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов: $1 = 1^3$ $x^3y^3 = (xy)^3$
Получаем разность кубов $1^3 - (xy)^3$.
Подставим $a=1$ и $b=xy$ в формулу:
$1^3 - (xy)^3 = (1-xy)(1^2 + 1 \cdot xy + (xy)^2) = (1-xy)(1+xy+x^2y^2)$.
Ответ: $(1-xy)(1+xy+x^2y^2)$.

5) Для выражения $a^3b^3+64$ применим формулу суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов: $a^3b^3 = (ab)^3$ $64 = 4^3$
Получаем сумму кубов $(ab)^3 + 4^3$.
Подставим $a=ab$ и $b=4$ в формулу:
$(ab)^3 + 4^3 = (ab+4)((ab)^2 - ab \cdot 4 + 4^2) = (ab+4)(a^2b^2-4ab+16)$.
Ответ: $(ab+4)(a^2b^2-4ab+16)$.

6) Для выражения $27x^3-y^3z^3$ используем формулу разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов: $27x^3 = (3x)^3$ $y^3z^3 = (yz)^3$
Получаем разность кубов $(3x)^3 - (yz)^3$.
Подставим $a=3x$ и $b=yz$ в формулу:
$(3x)^3 - (yz)^3 = (3x-yz)((3x)^2 + 3x \cdot yz + (yz)^2) = (3x-yz)(9x^2+3xyz+y^2z^2)$.
Ответ: $(3x-yz)(9x^2+3xyz+y^2z^2)$.

5.83. Докажите, что значение выражения:

1) $326^3+74^3$ кратно 400;

2) $425^3-125^3$ кратно 300.

1)

Для доказательства того, что значение выражения $326^3+74^3$ кратно 400, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу для $a = 326$ и $b = 74$:

$326^3 + 74^3 = (326 + 74)(326^2 - 326 \cdot 74 + 74^2)$.

Вычислим значение первого множителя:

$326 + 74 = 400$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$400 \cdot (326^2 - 326 \cdot 74 + 74^2)$.

Поскольку один из множителей равен 400, а второй множитель $(326^2 - 326 \cdot 74 + 74^2)$ является целым числом, то всё произведение кратно 400. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Для доказательства того, что значение выражения $425^3-125^3$ кратно 300, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу для $a = 425$ и $b = 125$:

$425^3 - 125^3 = (425 - 125)(425^2 + 425 \cdot 125 + 125^2)$.

Вычислим значение первого множителя:

$425 - 125 = 300$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$300 \cdot (425^2 + 425 \cdot 125 + 125^2)$.

Поскольку один из множителей равен 300, а второй множитель $(425^2 + 425 \cdot 125 + 125^2)$ является целым числом, то всё произведение кратно 300. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5.84. Докажите, что значение выражения:

1) $43^3+37^3$ делится на 80;

2) $79^3-35^3$ делится на 44.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $43^3 + 37^3$ делится на 80, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 43$ и $b = 37$:

$43^3 + 37^3 = (43 + 37)(43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$

Найдем значение первого множителя (суммы в скобках):

$43 + 37 = 80$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$43^3 + 37^3 = 80 \cdot (43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$

Второй множитель, $(43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$, является целым числом, так как состоит из произведений и разности целых чисел. Поскольку все выражение можно представить в виде произведения числа 80 и другого целого числа, это доказывает, что значение выражения $43^3 + 37^3$ делится на 80 без остатка.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $79^3 - 35^3$ делится на 44, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу, где $a = 79$ и $b = 35$:

$79^3 - 35^3 = (79 - 35)(79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$

Найдем значение первого множителя (разности в скобках):

$79 - 35 = 44$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$79^3 - 35^3 = 44 \cdot (79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$

Второй множитель, $(79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$, является целым числом. Так как все выражение представлено в виде произведения числа 44 и другого целого числа, это доказывает, что значение выражения $79^3 - 35^3$ делится на 44 нацело.

Ответ: Доказано.

5.85. Запишите выражение в виде суммы или разности кубов:

1) $(ab-4)(a^2b^2+4ab+16);$

2) $(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2);$

3) $\left(2a - \frac{b}{2}\right)\left(4a^2 + ab + \frac{b^2}{4}\right);$

4) $\left(\frac{x}{4} + \frac{y}{5}\right)\left(\frac{x^2}{16} - \frac{xy}{20} + \frac{y^2}{25}\right).$

1) $(ab-4)(a^2b^2+4ab+16)$

Для решения используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном выражении первая скобка $(ab-4)$ соответствует $(x-y)$, где $x=ab$ и $y=4$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(a^2b^2+4ab+16)$ выражению $(x^2 + xy + y^2)$:

Квадрат первого члена: $x^2 = (ab)^2 = a^2b^2$.

Произведение первого и второго членов: $xy = (ab)(4) = 4ab$.

Квадрат второго члена: $y^2 = 4^2 = 16$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $x^2+xy+y^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде разности кубов:

$(ab)^3 - 4^3 = a^3b^3 - 64$.

Ответ: $a^3b^3 - 64$.

2) $(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2)$

Для решения используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении первая скобка $(3x+yz)$ соответствует $(a+b)$, где $a=3x$ и $b=yz$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9x^2-3xyz+y^2z^2)$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

Квадрат первого члена: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$.

Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-ab = -(3x)(yz) = -3xyz$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (yz)^2 = y^2z^2$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $a^2-ab+b^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде суммы кубов:

$(3x)^3 + (yz)^3 = 27x^3 + y^3z^3$.

Ответ: $27x^3 + y^3z^3$.

3) $(2a - \frac{b}{2})(4a^2 + ab + \frac{b^2}{4})$

Для решения используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном выражении первая скобка $(2a - \frac{b}{2})$ соответствует $(x-y)$, где $x=2a$ и $y=\frac{b}{2}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 + ab + \frac{b^2}{4})$ выражению $(x^2 + xy + y^2)$:

Квадрат первого члена: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Произведение первого и второго членов: $xy = (2a)(\frac{b}{2}) = ab$.

Квадрат второго члена: $y^2 = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $x^2+xy+y^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде разности кубов:

$(2a)^3 - (\frac{b}{2})^3 = 8a^3 - \frac{b^3}{8}$.

Ответ: $8a^3 - \frac{b^3}{8}$.

4) $(\frac{x}{4} + \frac{y}{5})(\frac{x^2}{16} - \frac{xy}{20} + \frac{y^2}{25})$

Для решения используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении первая скобка $(\frac{x}{4} + \frac{y}{5})$ соответствует $(a+b)$, где $a=\frac{x}{4}$ и $b=\frac{y}{5}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\frac{x^2}{16} - \frac{xy}{20} + \frac{y^2}{25})$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

Квадрат первого члена: $a^2 = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$.

Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-ab = -(\frac{x}{4})(\frac{y}{5}) = -\frac{xy}{20}$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (\frac{y}{5})^2 = \frac{y^2}{25}$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $a^2-ab+b^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде суммы кубов:

$(\frac{x}{4})^3 + (\frac{y}{5})^3 = \frac{x^3}{4^3} + \frac{y^3}{5^3} = \frac{x^3}{64} + \frac{y^3}{125}$.

Ответ: $\frac{x^3}{64} + \frac{y^3}{125}$.

5.86. Представьте в виде произведения:

1) $a^3b^6-c^3$;
2) $3ax^3-3ay^3$;
3) $12am^3-12an^3$;
4) $a^6b^3+27$;
5) $1-p^9$;
6) $64x^3y^6+343a^3$.

1) Данное выражение $a^3b^6-c^3$ представляет собой разность кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
Первый член: $a^3b^6 = a^3(b^2)^3 = (ab^2)^3$.
Второй член: $c^3$.
В нашем случае $x = ab^2$ и $y = c$.
Подставим эти значения в формулу:
$(ab^2)^3 - c^3 = (ab^2 - c)((ab^2)^2 + (ab^2)(c) + c^2)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$(ab^2 - c)(a^2b^4 + ab^2c + c^2)$.
Ответ: $(ab^2 - c)(a^2b^4 + ab^2c + c^2)$.

2) В выражении $3ax^3-3ay^3$ есть общий множитель $3a$. Вынесем его за скобки:
$3a(x^3 - y^3)$.
Выражение в скобках $x^3-y^3$ является формулой разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Применив эту формулу, получаем окончательный вид произведения:
$3a(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Ответ: $3a(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

3) В выражении $12am^3-12an^3$ вынесем за скобки общий множитель $12a$:
$12a(m^3 - n^3)$.
Выражение в скобках $m^3-n^3$ является разностью кубов. Применим формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=m$ и $y=n$.
$12a(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $12a(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

4) Данное выражение $a^6b^3+27$ является суммой кубов. Для разложения используем формулу суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Представим каждый член в виде куба:
Первый член: $a^6b^3 = (a^2)^3b^3 = (a^2b)^3$.
Второй член: $27 = 3^3$.
Здесь $x = a^2b$ и $y = 3$.
Подставляем в формулу:
$(a^2b)^3 + 3^3 = (a^2b + 3)((a^2b)^2 - (a^2b)(3) + 3^2)$.
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(a^2b + 3)(a^4b^2 - 3a^2b + 9)$.
Ответ: $(a^2b + 3)(a^4b^2 - 3a^2b + 9)$.

5) Выражение $1-p^9$ можно разложить как разность кубов, используя формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов:
$1 = 1^3$.
$p^9 = (p^3)^3$.
В данном случае $x=1$ и $y=p^3$.
Подставляем в формулу:
$1^3 - (p^3)^3 = (1 - p^3)(1^2 + 1 \cdot p^3 + (p^3)^2) = (1 - p^3)(1 + p^3 + p^6)$.
Первый множитель $(1 - p^3)$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше:
$1 - p^3 = (1 - p)(1^2 + 1 \cdot p + p^2) = (1 - p)(1 + p + p^2)$.
Подставив это разложение в наше выражение, получаем конечный результат:
$(1 - p)(1 + p + p^2)(1 + p^3 + p^6)$.
Ответ: $(1 - p)(1 + p + p^2)(1 + p^3 + p^6)$.

6) Выражение $64x^3y^6+343a^3$ представляет собой сумму кубов. Воспользуемся формулой $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Представим каждый член в виде куба:
Первый член: $64x^3y^6 = 4^3x^3(y^2)^3 = (4xy^2)^3$.
Второй член: $343a^3 = 7^3a^3 = (7a)^3$.
Здесь $x = 4xy^2$ и $y = 7a$.
Подставляем в формулу:
$(4xy^2)^3 + (7a)^3 = (4xy^2 + 7a)((4xy^2)^2 - (4xy^2)(7a) + (7a)^2)$.
Упрощаем второй множитель:
$(4xy^2 + 7a)(16x^2y^4 - 28axy^2 + 49a^2)$.
Ответ: $(4xy^2 + 7a)(16x^2y^4 - 28axy^2 + 49a^2)$.