Номер 5.86, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.86. Представьте в виде произведения:

1) $a^3b^6-c^3$;
2) $3ax^3-3ay^3$;
3) $12am^3-12an^3$;
4) $a^6b^3+27$;
5) $1-p^9$;
6) $64x^3y^6+343a^3$.

1) Данное выражение $a^3b^6-c^3$ представляет собой разность кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде куба:
Первый член: $a^3b^6 = a^3(b^2)^3 = (ab^2)^3$.
Второй член: $c^3$.
В нашем случае $x = ab^2$ и $y = c$.
Подставим эти значения в формулу:
$(ab^2)^3 - c^3 = (ab^2 - c)((ab^2)^2 + (ab^2)(c) + c^2)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$(ab^2 - c)(a^2b^4 + ab^2c + c^2)$.
Ответ: $(ab^2 - c)(a^2b^4 + ab^2c + c^2)$.

2) В выражении $3ax^3-3ay^3$ есть общий множитель $3a$. Вынесем его за скобки:
$3a(x^3 - y^3)$.
Выражение в скобках $x^3-y^3$ является формулой разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Применив эту формулу, получаем окончательный вид произведения:
$3a(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Ответ: $3a(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

3) В выражении $12am^3-12an^3$ вынесем за скобки общий множитель $12a$:
$12a(m^3 - n^3)$.
Выражение в скобках $m^3-n^3$ является разностью кубов. Применим формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=m$ и $y=n$.
$12a(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $12a(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

4) Данное выражение $a^6b^3+27$ является суммой кубов. Для разложения используем формулу суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Представим каждый член в виде куба:
Первый член: $a^6b^3 = (a^2)^3b^3 = (a^2b)^3$.
Второй член: $27 = 3^3$.
Здесь $x = a^2b$ и $y = 3$.
Подставляем в формулу:
$(a^2b)^3 + 3^3 = (a^2b + 3)((a^2b)^2 - (a^2b)(3) + 3^2)$.
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(a^2b + 3)(a^4b^2 - 3a^2b + 9)$.
Ответ: $(a^2b + 3)(a^4b^2 - 3a^2b + 9)$.

5) Выражение $1-p^9$ можно разложить как разность кубов, используя формулу $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим члены выражения в виде кубов:
$1 = 1^3$.
$p^9 = (p^3)^3$.
В данном случае $x=1$ и $y=p^3$.
Подставляем в формулу:
$1^3 - (p^3)^3 = (1 - p^3)(1^2 + 1 \cdot p^3 + (p^3)^2) = (1 - p^3)(1 + p^3 + p^6)$.
Первый множитель $(1 - p^3)$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше:
$1 - p^3 = (1 - p)(1^2 + 1 \cdot p + p^2) = (1 - p)(1 + p + p^2)$.
Подставив это разложение в наше выражение, получаем конечный результат:
$(1 - p)(1 + p + p^2)(1 + p^3 + p^6)$.
Ответ: $(1 - p)(1 + p + p^2)(1 + p^3 + p^6)$.

6) Выражение $64x^3y^6+343a^3$ представляет собой сумму кубов. Воспользуемся формулой $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Представим каждый член в виде куба:
Первый член: $64x^3y^6 = 4^3x^3(y^2)^3 = (4xy^2)^3$.
Второй член: $343a^3 = 7^3a^3 = (7a)^3$.
Здесь $x = 4xy^2$ и $y = 7a$.
Подставляем в формулу:
$(4xy^2)^3 + (7a)^3 = (4xy^2 + 7a)((4xy^2)^2 - (4xy^2)(7a) + (7a)^2)$.
Упрощаем второй множитель:
$(4xy^2 + 7a)(16x^2y^4 - 28axy^2 + 49a^2)$.
Ответ: $(4xy^2 + 7a)(16x^2y^4 - 28axy^2 + 49a^2)$.