Номер 5.85, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.85. Запишите выражение в виде суммы или разности кубов:

1) $(ab-4)(a^2b^2+4ab+16);$

2) $(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2);$

3) $\left(2a - \frac{b}{2}\right)\left(4a^2 + ab + \frac{b^2}{4}\right);$

4) $\left(\frac{x}{4} + \frac{y}{5}\right)\left(\frac{x^2}{16} - \frac{xy}{20} + \frac{y^2}{25}\right).$

1) $(ab-4)(a^2b^2+4ab+16)$

Для решения используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном выражении первая скобка $(ab-4)$ соответствует $(x-y)$, где $x=ab$ и $y=4$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(a^2b^2+4ab+16)$ выражению $(x^2 + xy + y^2)$:

Квадрат первого члена: $x^2 = (ab)^2 = a^2b^2$.

Произведение первого и второго членов: $xy = (ab)(4) = 4ab$.

Квадрат второго члена: $y^2 = 4^2 = 16$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $x^2+xy+y^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде разности кубов:

$(ab)^3 - 4^3 = a^3b^3 - 64$.

Ответ: $a^3b^3 - 64$.

2) $(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2)$

Для решения используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении первая скобка $(3x+yz)$ соответствует $(a+b)$, где $a=3x$ и $b=yz$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9x^2-3xyz+y^2z^2)$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

Квадрат первого члена: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$.

Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-ab = -(3x)(yz) = -3xyz$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (yz)^2 = y^2z^2$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $a^2-ab+b^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде суммы кубов:

$(3x)^3 + (yz)^3 = 27x^3 + y^3z^3$.

Ответ: $27x^3 + y^3z^3$.

3) $(2a - \frac{b}{2})(4a^2 + ab + \frac{b^2}{4})$

Для решения используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном выражении первая скобка $(2a - \frac{b}{2})$ соответствует $(x-y)$, где $x=2a$ и $y=\frac{b}{2}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 + ab + \frac{b^2}{4})$ выражению $(x^2 + xy + y^2)$:

Квадрат первого члена: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Произведение первого и второго членов: $xy = (2a)(\frac{b}{2}) = ab$.

Квадрат второго члена: $y^2 = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $x^2+xy+y^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде разности кубов:

$(2a)^3 - (\frac{b}{2})^3 = 8a^3 - \frac{b^3}{8}$.

Ответ: $8a^3 - \frac{b^3}{8}$.

4) $(\frac{x}{4} + \frac{y}{5})(\frac{x^2}{16} - \frac{xy}{20} + \frac{y^2}{25})$

Для решения используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном выражении первая скобка $(\frac{x}{4} + \frac{y}{5})$ соответствует $(a+b)$, где $a=\frac{x}{4}$ и $b=\frac{y}{5}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(\frac{x^2}{16} - \frac{xy}{20} + \frac{y^2}{25})$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

Квадрат первого члена: $a^2 = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$.

Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-ab = -(\frac{x}{4})(\frac{y}{5}) = -\frac{xy}{20}$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (\frac{y}{5})^2 = \frac{y^2}{25}$.

Вторая скобка полностью соответствует выражению $a^2-ab+b^2$. Следовательно, все выражение можно представить в виде суммы кубов:

$(\frac{x}{4})^3 + (\frac{y}{5})^3 = \frac{x^3}{4^3} + \frac{y^3}{5^3} = \frac{x^3}{64} + \frac{y^3}{125}$.

Ответ: $\frac{x^3}{64} + \frac{y^3}{125}$.