Номер 5.78, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.78. Разложите на множители:

1) $-a^3+b^3$;
2) $-x^3+\frac{1}{y^3}$;
3) $a^6+1$;
4) $x^3y^3-1$;
5) $m^3n^3+8$;
6) $-\frac{1}{8}-a^3$.

1) Для разложения на множители выражения $-a^3+b^3$ поменяем слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид формулы разности кубов:

$-a^3+b^3 = b^3 - a^3$

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$. В данном случае $A=b$ и $B=a$.

$b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + b \cdot a + a^2) = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$

Запишем второй множитель в стандартном порядке:

$(b - a)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $(b - a)(a^2 + ab + b^2)$.

2) Переставим слагаемые местами и представим выражение в виде разности кубов:

$-x^3 + \frac{1}{y^3} = \frac{1}{y^3} - x^3 = (\frac{1}{y})^3 - x^3$

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{y}$ и $B = x$.

$(\frac{1}{y})^3 - x^3 = (\frac{1}{y} - x)((\frac{1}{y})^2 + \frac{1}{y} \cdot x + x^2) = (\frac{1}{y} - x)(\frac{1}{y^2} + \frac{x}{y} + x^2)$

Ответ: $(\frac{1}{y} - x)(\frac{1}{y^2} + \frac{x}{y} + x^2)$.

3) Представим выражение $a^6+1$ в виде суммы кубов. Для этого заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $1 = 1^3$.

$a^6+1 = (a^2)^3 + 1^3$

Теперь применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a^2$ и $B = 1$.

$(a^2)^3 + 1^3 = (a^2 + 1)((a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2) = (a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)$

Ответ: $(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)$.

4) Представим выражение $x^3y^3-1$ в виде разности кубов. Заметим, что $x^3y^3 = (xy)^3$ и $1 = 1^3$.

$x^3y^3 - 1 = (xy)^3 - 1^3$

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = xy$ и $B = 1$.

$(xy)^3 - 1^3 = (xy - 1)((xy)^2 + xy \cdot 1 + 1^2) = (xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$

Ответ: $(xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.

5) Представим выражение $m^3n^3+8$ в виде суммы кубов. Заметим, что $m^3n^3 = (mn)^3$ и $8 = 2^3$.

$m^3n^3 + 8 = (mn)^3 + 2^3$

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = mn$ и $B = 2$.

$(mn)^3 + 2^3 = (mn + 2)((mn)^2 - mn \cdot 2 + 2^2) = (mn + 2)(m^2n^2 - 2mn + 4)$

Ответ: $(mn + 2)(m^2n^2 - 2mn + 4)$.

6) Представим выражение $\frac{1}{8}-a^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.

$\frac{1}{8} - a^3 = (\frac{1}{2})^3 - a^3$

Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{2}$ и $B = a$.

$(\frac{1}{2})^3 - a^3 = (\frac{1}{2} - a)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a + a^2) = (\frac{1}{2} - a)(\frac{1}{4} + \frac{a}{2} + a^2)$

Ответ: $(\frac{1}{2} - a)(\frac{1}{4} + \frac{a}{2} + a^2)$.