Номер 5.77, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.77. Разложите на множители:

1) $x^3+64;$

2) $125-x^3;$

3) $27a^3-64b^3;$

4) $1+27m^3;$

5) $\frac{n^3}{64}+8;$

6) $\frac{p^3}{64}-\frac{q^3}{27}.$

1) Для разложения на множители выражения $x^3+64$ используется формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Сначала представим выражение в виде суммы кубов. Число 64 можно представить как $4^3$. Таким образом, получаем:
$x^3+64 = x^3+4^3$.
В данном случае, $a=x$ и $b=4$. Применим формулу суммы кубов:
$x^3+4^3 = (x+4)(x^2 - x \cdot 4 + 4^2) = (x+4)(x^2-4x+16)$.
Ответ: $(x+4)(x^2-4x+16)$.

2) Для разложения на множители выражения $125-x^3$ используется формула разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов. Число 125 можно представить как $5^3$. Таким образом, получаем:
$125-x^3 = 5^3-x^3$.
В данном случае, $a=5$ и $b=x$. Применим формулу разности кубов:
$5^3-x^3 = (5-x)(5^2 + 5 \cdot x + x^2) = (5-x)(25+5x+x^2)$.
Ответ: $(5-x)(25+5x+x^2)$.

3) Для разложения на множители выражения $27a^3-64b^3$ используется формула разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $27a^3 = (3a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$.
Выражение принимает вид: $(3a)^3-(4b)^3$.
В данном случае, $x=3a$ и $y=4b$. Применим формулу разности кубов:
$(3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) = (3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$.
Ответ: $(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$.

4) Для разложения на множители выражения $1+27m^3$ используется формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $1=1^3$ и $27m^3 = (3m)^3$.
Выражение принимает вид: $1^3+(3m)^3$.
В данном случае, $a=1$ и $b=3m$. Применим формулу суммы кубов:
$(1+3m)(1^2 - 1 \cdot 3m + (3m)^2) = (1+3m)(1-3m+9m^2)$.
Ответ: $(1+3m)(1-3m+9m^2)$.

5) Для разложения на множители выражения $\frac{n^3}{64}+8$ используется формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $\frac{n^3}{64} = (\frac{n}{4})^3$ и $8 = 2^3$.
Выражение принимает вид: $(\frac{n}{4})^3+2^3$.
В данном случае, $a=\frac{n}{4}$ и $b=2$. Применим формулу суммы кубов:
$(\frac{n}{4}+2)((\frac{n}{4})^2 - \frac{n}{4} \cdot 2 + 2^2) = (\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16} - \frac{2n}{4} + 4) = (\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16} - \frac{n}{2} + 4)$.
Ответ: $(\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16} - \frac{n}{2} + 4)$.

6) Для разложения на множители выражения $\frac{p^3}{64}-\frac{q^3}{27}$ используется формула разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $\frac{p^3}{64} = (\frac{p}{4})^3$ и $\frac{q^3}{27} = (\frac{q}{3})^3$.
Выражение принимает вид: $(\frac{p}{4})^3-(\frac{q}{3})^3$.
В данном случае, $a=\frac{p}{4}$ и $b=\frac{q}{3}$. Применим формулу разности кубов:
$(\frac{p}{4}-\frac{q}{3})((\frac{p}{4})^2 + \frac{p}{4} \cdot \frac{q}{3} + (\frac{q}{3})^2) = (\frac{p}{4}-\frac{q}{3})(\frac{p^2}{16} + \frac{pq}{12} + \frac{q^2}{9})$.
Ответ: $(\frac{p}{4}-\frac{q}{3})(\frac{p^2}{16} + \frac{pq}{12} + \frac{q^2}{9})$.