Номер 5.72, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.72. Разложите многочлен на множители:

1) $x^3+y^3$;

2) $x^3-y^3$;

3) $m^3-n^3$;

4) $m^3+n^3$;

5) $p^3+q^3$;

6) $p^3-q^3$;

7) $a^3+8$;

8) $a^3-8$;

9) $m^3+27$;

10) $n^3-27$;

11) $1-x^3$;

12) $1+y^3$.

Для разложения данных многочленов на множители используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) Для разложения многочлена $x^3+y^3$ на множители применим формулу суммы кубов. В данном случае $a=x$ и $b=y$.
$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Ответ: $(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

2) Для разложения многочлена $x^3-y^3$ на множители применим формулу разности кубов. В данном случае $a=x$ и $b=y$.
$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Ответ: $(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

3) Для разложения многочлена $m^3-n^3$ на множители применим формулу разности кубов. В данном случае $a=m$ и $b=n$.
$m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.
Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2)$.

4) Для разложения многочлена $m^3+n^3$ на множители применим формулу суммы кубов. В данном случае $a=m$ и $b=n$.
$m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Ответ: $(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

5) Для разложения многочлена $p^3+q^3$ на множители применим формулу суммы кубов. В данном случае $a=p$ и $b=q$.
$p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$.
Ответ: $(p+q)(p^2-pq+q^2)$.

6) Для разложения многочлена $p^3-q^3$ на множители применим формулу разности кубов. В данном случае $a=p$ и $b=q$.
$p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2)$.
Ответ: $(p-q)(p^2+pq+q^2)$.

7) Представим многочлен $a^3+8$ в виде суммы кубов. Поскольку $8 = 2^3$, имеем $a^3+2^3$. Теперь применим формулу суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $a$, а в качестве $b$ - число $2$.
$a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Ответ: $(a+2)(a^2-2a+4)$.

8) Представим многочлен $a^3-8$ в виде разности кубов. Поскольку $8 = 2^3$, имеем $a^3-2^3$. Теперь применим формулу разности кубов, где $a=a$ и $b=2$.
$a^3-8 = a^3-2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2+2a+4)$.
Ответ: $(a-2)(a^2+2a+4)$.

9) Представим многочлен $m^3+27$ в виде суммы кубов. Поскольку $27 = 3^3$, имеем $m^3+3^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a=m$ и $b=3$.
$m^3+27 = m^3+3^3 = (m+3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m+3)(m^2-3m+9)$.
Ответ: $(m+3)(m^2-3m+9)$.

10) Представим многочлен $n^3-27$ в виде разности кубов. Поскольку $27 = 3^3$, имеем $n^3-3^3$. Применим формулу разности кубов, где $a=n$ и $b=3$.
$n^3-27 = n^3-3^3 = (n-3)(n^2 + n \cdot 3 + 3^2) = (n-3)(n^2+3n+9)$.
Ответ: $(n-3)(n^2+3n+9)$.

11) Представим многочлен $1-x^3$ в виде разности кубов. Поскольку $1 = 1^3$, имеем $1^3-x^3$. Применим формулу разности кубов, где $a=1$ и $b=x$.
$1-x^3 = 1^3-x^3 = (1-x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1-x)(1+x+x^2)$.
Ответ: $(1-x)(1+x+x^2)$.

12) Представим многочлен $1+y^3$ в виде суммы кубов. Поскольку $1 = 1^3$, имеем $1^3+y^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a=1$ и $b=y$.
$1+y^3 = 1^3+y^3 = (1+y)(1^2 - 1 \cdot y + y^2) = (1+y)(1-y+y^2)$.
Ответ: $(1+y)(1-y+y^2)$.