Номер 5.76, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.76. Упростите выражение:

1) $(a+1)(a^2-a+1)-a^3;$

2) $(x+y)(x^2-xy+y^2)-x(x^2+y^2);$

3) $(m-2)(m^2+2m+4)+8;$

4) $(c+3)(c^2-3c+9)-27.$

1) Для упрощения выражения $(a+1)(a^2-a+1)-a^3$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.
В данном выражении $x=a$ и $y=1$. Применяя формулу к произведению $(a+1)(a^2-a+1)$, получаем:
$(a+1)(a^2-a \cdot 1+1^2) = a^3+1^3 = a^3+1$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(a^3+1) - a^3 = a^3 - a^3 + 1 = 1$.
Ответ: $1$.

2) Рассмотрим выражение $(x+y)(x^2-xy+y^2)-x(x^2+y^2)$.
Первая часть выражения, $(x+y)(x^2-xy+y^2)$, является формулой суммы кубов, которая равна $x^3+y^3$.
Вторая часть выражения, $-x(x^2+y^2)$, упрощается путем раскрытия скобок (умножаем $-x$ на каждый член в скобках):
$-x(x^2+y^2) = -x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = -x^3 - xy^2$.
Теперь объединим обе упрощенные части:
$(x^3+y^3) + (-x^3 - xy^2) = x^3+y^3-x^3-xy^2$.
Приводим подобные слагаемые: $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.
В результате остается: $y^3-xy^2$.
Ответ: $y^3-xy^2$.

3) Для упрощения выражения $(m-2)(m^2+2m+4)+8$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
В нашем случае $x=m$ и $y=2$. Применяя формулу к произведению $(m-2)(m^2+2m+4)$, получаем:
$(m-2)(m^2+m \cdot 2+2^2) = m^3-2^3 = m^3-8$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(m^3-8)+8 = m^3-8+8 = m^3$.
Ответ: $m^3$.

4) Рассмотрим выражение $(c+3)(c^2-3c+9)-27$.
Произведение $(c+3)(c^2-3c+9)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$, где $x=c$ и $y=3$.
Применяя эту формулу, получаем:
$(c+3)(c^2-c \cdot 3+3^2) = c^3+3^3 = c^3+27$.
Теперь подставим это в исходное выражение и выполним вычитание:
$(c^3+27)-27 = c^3+27-27 = c^3$.
Ответ: $c^3$.