Номер 5.75, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.75. Запишите выражение в виде суммы или разности кубов одночленов:

1) $(a-2)(a^2+2a+4);$

2) $(x+2y)(x^2-2xy+4y^2);$

3) $(4+b)(16-4b+b^2);$

4) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2).$

1) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В выражении $(a-2)(a^2+2a+4)$ мы можем определить $x=a$ и $y=2$.
Проверим соответствие второго множителя $(a^2+2a+4)$ формуле $(x^2+xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = a \cdot 2 = 2a$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу разности кубов:
$(a-2)(a^2+2a+4) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$.

2) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В выражении $(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$ мы можем определить $x=x$ и $y=2y$.
Проверим соответствие второго множителя $(x^2-2xy+4y^2)$ формуле $(x^2-xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = x^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = x \cdot (2y) = 2xy$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2y)^2 = 4y^2$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(x+2y)(x^2-2xy+4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.
Ответ: $x^3 + 8y^3$.

3) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В выражении $(4+b)(16-4b+b^2)$ мы можем определить $x=4$ и $y=b$.
Проверим соответствие второго множителя $(16-4b+b^2)$ формуле $(x^2-xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 4^2 = 16$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = 4 \cdot b = 4b$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = b^2$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(4+b)(16-4b+b^2) = 4^3 + b^3 = 64 + b^3$.
Ответ: $64 + b^3$.

4) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В выражении $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$ мы можем определить $x=3a$ и $y=2b$.
Проверим соответствие второго множителя $(9a^2+6ab+4b^2)$ формуле $(x^2+xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = (3a) \cdot (2b) = 6ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу разности кубов:
$(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$.
Ответ: $27a^3 - 8b^3$.