Номер 5.69, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.69. Докажите равенство:

1) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3;$

2) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$

1) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

Для доказательства этого равенства, которое является формулой суммы кубов, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(a+b)$ на каждый член второго многочлена $(a^2-ab+b^2)$.

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a \cdot (a^2-ab+b^2) + b \cdot (a^2-ab+b^2)$

Выполним почленное умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3$

Как мы видим, слагаемые $-a^2b$ и $a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и слагаемые $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $a^3+b^3 = a^3+b^3$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ доказано.

2) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

Для доказательства этого равенства, известного как формула разности кубов, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a-b)$ на многочлен $(a^2+ab+b^2)$.

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot (a^2+ab+b^2) - b \cdot (a^2+ab+b^2)$

Выполним почленное умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3$

Слагаемые $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и слагаемые $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате мы получили, что левая часть равенства равна правой: $a^3-b^3 = a^3-b^3$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ доказано.