Номер 5.65, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.65. Докажите, что при каждом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8;

2) $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7.

1) Необходимо доказать, что значение выражения $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8 для любого натурального числа $n$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 2n+3$ и $b = 2n-1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2n+3)^2-(2n-1)^2 = ((2n+3)-(2n-1))((2n+3)+(2n-1))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(2n+3)-(2n-1) = 2n+3-2n+1 = 4$.

Вторая скобка: $(2n+3)+(2n-1) = 2n+3+2n-1 = 4n+2$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$4 \cdot (4n+2) = 16n + 8$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$16n + 8 = 8(2n+1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $2n+1$ также является натуральным числом. Произведение числа 8 на любое натуральное число всегда будет делиться на 8 без остатка. Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что значение выражения $(2n+3)^2-(2n-1)^2$ кратно 8.

2) Необходимо доказать, что значение выражения $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7 для любого натурального числа $n$.

Аналогично первому пункту, применим формулу разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 5n+1$ и $b = 2n-1$.

Подставим значения в формулу:

$(5n+1)^2-(2n-1)^2 = ((5n+1)-(2n-1))((5n+1)+(2n-1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(5n+1)-(2n-1) = 5n+1-2n+1 = 3n+2$.

Вторая скобка: $(5n+1)+(2n-1) = 5n+1+2n-1 = 7n$.

Перемножим полученные выражения:

$(3n+2)(7n) = 7n(3n+2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n$ и $3n+2$ также являются натуральными числами, а их произведение $n(3n+2)$ — это натуральное число. Выражение $7n(3n+2)$ представляет собой произведение числа 7 на натуральное число. Такое произведение всегда делится на 7 без остатка. Следовательно, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что значение выражения $(5n+1)^2-(2n-1)^2$ кратно 7.