Номер 5.63, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.63. Разложите на множители:

1) $a^2+b^2+2ab-1;$

2) $4-25m^2+10mn-n^2;$

3) $81x^2+6ab-9a^2-b^2;$

4) $x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1.$

1) В выражении $a^2+b^2+2ab-1$ сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Подставив это в исходное выражение, получим:
$(a^2+2ab+b^2) - 1 = (a+b)^2 - 1$.
Теперь мы видим формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a+b$ и $y=1$.
$(a+b)^2 - 1^2 = (a+b-1)(a+b+1)$.
Ответ: $(a+b-1)(a+b+1)$.

2) В выражении $4-25m^2+10mn-n^2$ сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:
$4 - (25m^2-10mn+n^2)$.
Выражение в скобках $25m^2-10mn+n^2$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=5m$ и $y=n$.
$25m^2-10mn+n^2 = (5m-n)^2$.
Подставим это обратно в выражение:
$4 - (5m-n)^2$.
Это разность квадратов, так как $4=2^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=2$ и $y=5m-n$.
$2^2 - (5m-n)^2 = (2-(5m-n))(2+(5m-n)) = (2-5m+n)(2+5m-n)$.
Ответ: $(2-5m+n)(2+5m-n)$.

3) В выражении $81x^2+6ab-9a^2-b^2$ сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$ и вынесем знак минус за скобки:
$81x^2 - (9a^2-6ab+b^2)$.
Выражение в скобках $9a^2-6ab+b^2$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=3a$ и $y=b$.
$9a^2-6ab+b^2 = (3a-b)^2$.
Подставим это обратно в выражение:
$81x^2 - (3a-b)^2$.
Мы получили разность квадратов, так как $81x^2=(9x)^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=9x$ и $y=3a-b$.
$(9x)^2 - (3a-b)^2 = (9x-(3a-b))(9x+(3a-b)) = (9x-3a+b)(9x+3a-b)$.
Ответ: $(9x-3a+b)(9x+3a-b)$.

4) В выражении $x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1$ перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим $-4xy$ как $-2xy-2xy$.
$x^2y^2-2xy-2xy-x^2-y^2+1$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(x^2y^2-2xy+1) + (-x^2-y^2-2xy)$.
Вынесем знак минус из второй скобки:
$(x^2y^2-2xy+1) - (x^2+2xy+y^2)$.
Первая скобка представляет собой квадрат разности: $(xy-1)^2$.
Вторая скобка представляет собой квадрат суммы: $(x+y)^2$.
Таким образом, выражение преобразуется в:
$(xy-1)^2 - (x+y)^2$.
Это разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A = xy-1$ и $B = x+y$.
Применим формулу:
$((xy-1)-(x+y))((xy-1)+(x+y)) = (xy-x-y-1)(xy+x+y-1)$.
Ответ: $(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)$.