Номер 5.58, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.58. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное.

Для доказательства этого утверждения возьмем два произвольных последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда следующее за ним число будет $n+1$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Нам необходимо найти разность их квадратов. Большее число — это $n+1$, а меньшее — $n$. Разность квадратов будет выглядеть как $(n+1)^2 - n^2$.

Для упрощения этого выражения можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = n+1$ и $b = n$:
$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n)$

Теперь упростим каждую из скобок:
Первая скобка: $(n+1) - n = 1$
Вторая скобка: $(n+1) + n = 2n + 1$

Перемножив результаты, получим:
$1 \cdot (2n + 1) = 2n + 1$

Итак, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда равна $2n+1$.

Любое целое число в форме $2k$, где $k$ — целое, является четным. Любое целое число в форме $2k+1$ является нечетным. Поскольку $n$ — натуральное число, то $2n$ — это всегда четное число. Если к четному числу прибавить 1, результат всегда будет нечетным.

Следовательно, выражение $2n+1$ всегда представляет собой нечетное число для любого натурального $n$.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ равна $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$, что по определению является нечетным числом для любого натурального $n$.