Номер 5.54, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.54. Разложите на множители:

1) $(5a+6)^2-81;$

2) $25-(a+7)^2;$

3) $9m^2-(1+2m)^2;$

4) $(5x-3y)^2-16x^2;$

5) $(5c-3d)^2-9d^2;$

6) $49m^2-(n+8m)^2.$

1) Для разложения на множители выражения $(5a+6)^2-81$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $81 = 9^2$:
$(5a+6)^2 - 9^2$.
В данном случае $x = 5a+6$ и $y = 9$.
Применяем формулу:
$((5a+6) - 9)((5a+6) + 9)$.
Упрощаем выражения в каждой скобке:
$(5a + 6 - 9)(5a + 6 + 9) = (5a - 3)(5a + 15)$.
Во втором множителе $(5a + 15)$ можно вынести общий множитель 5 за скобки:
$(5a - 3) \cdot 5(a + 3) = 5(5a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $5(5a - 3)(a + 3)$.

2) Для разложения на множители выражения $25-(a+7)^2$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $25 = 5^2$:
$5^2 - (a+7)^2$.
Здесь $x = 5$ и $y = a+7$.
Применяем формулу:
$(5 - (a+7))(5 + (a+7))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой:
$(5 - a - 7)(5 + a + 7) = (-a - 2)(a + 12)$.
Для более стандартного вида вынесем знак минус из первого множителя:
$-(a + 2)(a + 12)$.
Ответ: $-(a + 2)(a + 12)$.

3) Для разложения на множители выражения $9m^2-(1+2m)^2$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $9m^2 = (3m)^2$:
$(3m)^2 - (1+2m)^2$.
Здесь $x = 3m$ и $y = 1+2m$.
Применяем формулу:
$(3m - (1+2m))(3m + (1+2m))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(3m - 1 - 2m)(3m + 1 + 2m) = (m - 1)(5m + 1)$.
Ответ: $(m - 1)(5m + 1)$.

4) Для разложения на множители выражения $(5x-3y)^2-16x^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $16x^2 = (4x)^2$:
$(5x-3y)^2 - (4x)^2$.
Здесь $a = 5x-3y$ и $b = 4x$.
Применяем формулу:
$((5x-3y) - 4x)((5x-3y) + 4x)$.
Упрощаем выражения в каждой скобке:
$(5x - 3y - 4x)(5x - 3y + 4x) = (x - 3y)(9x - 3y)$.
Во втором множителе $(9x - 3y)$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$(x - 3y) \cdot 3(3x - y) = 3(x - 3y)(3x - y)$.
Ответ: $3(x - 3y)(3x - y)$.

5) Для разложения на множители выражения $(5c-3d)^2-9d^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $9d^2 = (3d)^2$:
$(5c-3d)^2 - (3d)^2$.
Здесь $a = 5c-3d$ и $b = 3d$.
Применяем формулу:
$((5c-3d) - 3d)((5c-3d) + 3d)$.
Упрощаем выражения в каждой скобке:
$(5c - 3d - 3d)(5c - 3d + 3d) = (5c - 6d)(5c)$.
Для удобства записи поставим одночленный множитель в начале:
$5c(5c - 6d)$.
Ответ: $5c(5c - 6d)$.

6) Для разложения на множители выражения $49m^2-(n+8m)^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $49m^2 = (7m)^2$:
$(7m)^2 - (n+8m)^2$.
Здесь $a = 7m$ и $b = n+8m$.
Применяем формулу:
$(7m - (n+8m))(7m + (n+8m))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(7m - n - 8m)(7m + n + 8m) = (-m - n)(15m + n)$.
Вынесем знак минус из первого множителя:
$-(m + n)(15m + n)$.
Ответ: $-(m + n)(15m + n)$.