Номер 5.49, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.49. Выполните умножение:

1) $(x^n+y^n)(x^n-y^n)$;

2) $(a^k-b)(a^k+b)$;

3) $(p^m-q^n)(p^m+q^n)$;

4) $(a-2)(a+2)(a^2+4)$;

5) $(5-x)(5+x)(25+x^2)$;

6) $(a-2)^2(a+2)^2$.

1) Для решения данного примера используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В нашем случае, заменим $a$ на $x^n$ и $b$ на $y^n$.
$(x^n+y^n)(x^n-y^n) = (x^n)^2 - (y^n)^2$.
Используя свойство степени $(a^m)^k=a^{mk}$, получаем:
$(x^n)^2 - (y^n)^2 = x^{2n} - y^{2n}$.
Ответ: $x^{2n} - y^{2n}$

2) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Здесь в качестве первого члена выступает $a^k$, а в качестве второго — $b$.
$(a^k-b)(a^k+b) = (a^k)^2 - b^2 = a^{2k} - b^2$.
Ответ: $a^{2k} - b^2$

3) Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В этом выражении $a = p^m$ и $b = q^n$.
$(p^m-q^n)(p^m+q^n) = (p^m)^2 - (q^n)^2 = p^{2m} - q^{2n}$.
Ответ: $p^{2m} - q^{2n}$

4) В этом примере формула разности квадратов используется последовательно.
Сначала перемножим первые две скобки: $(a-2)(a+2)$.
$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^2-4)(a^2+4)$.
Это снова разность квадратов, где первый член равен $a^2$, а второй — 4.
$(a^2-4)(a^2+4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.
Ответ: $a^4 - 16$

5) Решение аналогично предыдущему примеру. Выполним умножение по шагам.
Шаг 1: перемножим $(5-x)(5+x)$ по формуле разности квадратов.
$(5-x)(5+x) = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
Шаг 2: подставим полученный результат в исходное выражение и снова применим ту же формулу.
$(25-x^2)(25+x^2) = 25^2 - (x^2)^2 = 625 - x^4$.
Ответ: $625 - x^4$

6) Для решения этого примера удобно использовать свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$ в обратном порядке: $x^n y^n = (xy)^n$.
$(a-2)^2(a+2)^2 = ((a-2)(a+2))^2$.
Выражение во внутренних скобках является разностью квадратов: $(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2-4$.
Теперь исходное выражение равно $(a^2-4)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(a^2-4)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^4 - 8a^2 + 16$.
Ответ: $a^4 - 8a^2 + 16$