Номер 5.45, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.45. С помощью рисунка 5.3 разъясните геометрический смысл формулы $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для положительных $a$ и $b$ $(a>b)$.

Рис. 5.3

Геометрический смысл формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для положительных $a$ и $b$ (при $a > b$) можно разъяснить с помощью анализа площадей фигур, представленных на рисунке 5.3.

1. Интерпретация выражения $a^2 - b^2$

Рассмотрим весь большой квадрат, изображенный на рисунке. Его стороны состоят из двух отрезков длиной $a-b$ и $b$. Таким образом, длина каждой стороны большого квадрата равна $(a-b)+b=a$. Площадь этого большого квадрата составляет $S_{большого} = a \cdot a = a^2$.

В правом нижнем углу этого квадрата расположен меньший квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_{малого} = b \cdot b = b^2$.

Выражение $a^2 - b^2$ представляет собой разность площадей этих двух квадратов. Геометрически это площадь фигуры, которая остается после того, как из большого квадрата со стороной $a$ вырезали малый квадрат со стороной $b$. Эта оставшаяся фигура имеет Г-образную форму и на рисунке состоит из трех меньших областей (одного белого квадрата и двух заштрихованных прямоугольников).

2. Интерпретация выражения $(a-b)(a+b)$

Теперь найдем площадь той же Г-образной фигуры другим способом, сложив площади трех составляющих ее частей. Согласно разметке на рисунке, эта фигура состоит из:

• Квадрата в левом верхнем углу со сторонами $a-b$. Его площадь равна $S_1 = (a-b)(a-b) = (a-b)^2$.
• Прямоугольника в правом верхнем углу со сторонами $b$ и $a-b$. Его площадь равна $S_2 = b(a-b)$.
• Прямоугольника в левом нижнем углу со сторонами $a-b$ и $b$. Его площадь равна $S_3 = (a-b)b$.

Общая площадь Г-образной фигуры равна сумме площадей этих трех частей:

$S_{фигуры} = S_1 + S_2 + S_3 = (a-b)^2 + b(a-b) + b(a-b)$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$S_{фигуры} = (a-b) \cdot [(a-b) + b + b]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$S_{фигуры} = (a-b) \cdot (a+b)$

Геометрически это означает, что три части Г-образной фигуры можно переставить так, чтобы образовать один прямоугольник со сторонами $a-b$ и $a+b$. Его площадь, соответственно, равна $(a-b)(a+b)$.

3. Заключение

Мы рассмотрели площадь одной и той же Г-образной фигуры двумя разными способами. В первом случае мы получили, что ее площадь равна $a^2 - b^2$. Во втором случае, суммируя площади ее частей, мы получили, что ее площадь равна $(a-b)(a+b)$. Поскольку речь идет об одной и той же площади, мы можем приравнять эти два выражения.

Ответ: Таким образом, с помощью рисунка 5.3 мы геометрически показали, что площадь, равная разности площадей двух квадратов ($a^2 - b^2$), эквивалентна площади прямоугольника со сторонами $a-b$ и $a+b$, то есть $(a-b)(a+b)$, что и доказывает тождество $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.