Номер 5.48, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.48. Выполните действия:

1) $(a^2+b^2)(a^2-b^2);$

2) $(c^3-d^3)(c^3+d^3);$

3) $(10m^2-n^2)(10m^2+n^2);$

4) $(c^4+d^2)(c^4-d^2);$

5) $(5x^2+2y^3)(2y^3-5x^2);$

6) $(1{,}4c-0{,}7a^3)(1{,}4c+0{,}7a^3).$

Для выполнения данных действий во всех примерах используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

1) В выражении $(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ мы имеем произведение суммы и разности двух одночленов: $a^2$ и $b^2$. Применяя формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $a^2$, а в качестве $b$ выступает $b^2$, получаем:
$(a^2+b^2)(a^2-b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^{2 \cdot 2} - b^{2 \cdot 2} = a^4 - b^4$.
Ответ: $a^4 - b^4$.

2) В выражении $(c^3-d^3)(c^3+d^3)$ множители представляют собой разность и сумму одночленов $c^3$ и $d^3$. Применяем ту же формулу:
$(c^3-d^3)(c^3+d^3) = (c^3)^2 - (d^3)^2 = c^{3 \cdot 2} - d^{3 \cdot 2} = c^6 - d^6$.
Ответ: $c^6 - d^6$.

3) Выражение $(10m^2-n^2)(10m^2+n^2)$ также является произведением разности и суммы. Здесь в роли $a$ выступает $10m^2$, а в роли $b$ — $n^2$.
$(10m^2-n^2)(10m^2+n^2) = (10m^2)^2 - (n^2)^2 = 10^2(m^2)^2 - (n^2)^2 = 100m^4 - n^4$.
Ответ: $100m^4 - n^4$.

4) В выражении $(c^4+d^2)(c^4-d^2)$ имеем произведение суммы и разности одночленов $c^4$ и $d^2$. Применяем формулу:
$(c^4+d^2)(c^4-d^2) = (c^4)^2 - (d^2)^2 = c^{4 \cdot 2} - d^{2 \cdot 2} = c^8 - d^4$.
Ответ: $c^8 - d^4$.

5) В выражении $(5x^2+2y^3)(2y^3-5x^2)$ необходимо сначала преобразовать его к виду $(a+b)(a-b)$. Заметим, что $(5x^2+2y^3)$ можно записать как $(2y^3+5x^2)$ из-за коммутативности сложения.
Получаем: $(2y^3+5x^2)(2y^3-5x^2)$.
Теперь это произведение суммы и разности выражений $2y^3$ и $5x^2$. Применяем формулу:
$(2y^3)^2 - (5x^2)^2 = 2^2(y^3)^2 - 5^2(x^2)^2 = 4y^6 - 25x^4$.
Ответ: $4y^6 - 25x^4$.

6) В выражении $(1,4c-0,7a^3)(1,4c+0,7a^3)$ имеем произведение разности и суммы выражений $1,4c$ и $0,7a^3$. Применяем формулу, возводя в квадрат каждый член:
$(1,4c-0,7a^3)(1,4c+0,7a^3) = (1,4c)^2 - (0,7a^3)^2 = 1,4^2 \cdot c^2 - 0,7^2 \cdot (a^3)^2 = 1,96c^2 - 0,49a^6$.
Ответ: $1,96c^2 - 0,49a^6$.