Номер 5.50, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.50. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(2a+5)^2-49;$

2) $(5x-2y)^2-9y^2;$

3) $p^2-(3p+1)^2;$

4) $(2a+b)^2-(a-2b)^2;$

5) $(x+y)^2-(x-y)^2;$

6) $(4p-q)^2-(2p+3q)^2.$

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1) Представим выражение $(2a+5)^2-49$ в виде разности квадратов. В данном случае $A = 2a+5$ и $B^2 = 49$, следовательно, $B = \sqrt{49} = 7$. Применим формулу:
$(2a+5)^2 - 7^2 = ((2a+5) - 7)((2a+5) + 7)$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(2a + 5 - 7)(2a + 5 + 7) = (2a - 2)(2a + 12)$.
Можно вынести общий множитель 2 из каждой скобки:
$2(a - 1) \cdot 2(a + 6) = 4(a - 1)(a + 6)$.
Ответ: $4(a - 1)(a + 6)$.

2) Рассмотрим выражение $(5x-2y)^2-9y^2$. Здесь $A = 5x-2y$ и $B^2 = 9y^2$, значит $B = \sqrt{9y^2} = 3y$. Подставим в формулу разности квадратов:
$(5x-2y)^2 - (3y)^2 = ((5x-2y) - 3y)((5x-2y) + 3y)$.
Приведем подобные слагаемые в скобках:
$(5x - 2y - 3y)(5x - 2y + 3y) = (5x - 5y)(5x + y)$.
Вынесем общий множитель 5 из первой скобки:
$5(x - y)(5x + y)$.
Ответ: $5(x - y)(5x + y)$.

3) Разложим на множители выражение $p^2-(3p+1)^2$. В этом случае $A = p$ и $B = 3p+1$. Применим формулу:
$p^2 - (3p+1)^2 = (p - (3p+1))(p + (3p+1))$.
Раскроем внутренние скобки, обращая внимание на знаки, и упростим:
$(p - 3p - 1)(p + 3p + 1) = (-2p - 1)(4p + 1)$.
Ответ: $(-2p - 1)(4p + 1)$.

4) Представим в виде произведения $(2a+b)^2-(a-2b)^2$. Это разность квадратов, где $A = 2a+b$ и $B = a-2b$. Используем формулу:
$((2a+b) - (a-2b))((2a+b) + (a-2b))$.
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждом множителе:
Первый множитель: $(2a+b - a + 2b) = (a + 3b)$.
Второй множитель: $(2a+b + a - 2b) = (3a - b)$.
В результате получаем произведение:
$(a + 3b)(3a - b)$.
Ответ: $(a + 3b)(3a - b)$.

5) Разложим на множители $(x+y)^2-(x-y)^2$. Здесь $A = x+y$ и $B = x-y$. Применим формулу разности квадратов:
$((x+y) - (x-y))((x+y) + (x-y))$.
Упростим выражения в скобках:
$(x+y - x + y)(x+y + x - y) = (2y)(2x)$.
Перемножим полученные одночлены:
$4xy$.
Ответ: $4xy$.

6) Представим в виде произведения $(4p-q)^2-(2p+3q)^2$. Используем формулу разности квадратов, где $A = 4p-q$ и $B = 2p+3q$.
$((4p-q) - (2p+3q))((4p-q) + (2p+3q))$.
Упростим каждый множитель:
$(4p-q - 2p - 3q)(4p-q + 2p + 3q) = (2p - 4q)(6p + 2q)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки для окончательного упрощения:
$2(p - 2q) \cdot 2(3p + q) = 4(p - 2q)(3p + q)$.
Ответ: $4(p - 2q)(3p + q)$.