Номер 5.56, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.56. Найдите значение дроби:

1) $ \frac{72}{13^2 - 11^2}; $ 2) $ \frac{79^2 - 65^2}{420}; $ 3) $ \frac{92^2 - 48^2}{27^2 - 17^2}; $ 4) $ \frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2}. $

Для решения всех примеров используется формула сокращённого умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1)

Применим формулу разности квадратов к знаменателю дроби:

$\frac{72}{13^2 - 11^2} = \frac{72}{(13 - 11)(13 + 11)} = \frac{72}{2 \cdot 24} = \frac{72}{48}$

Сократим полученную дробь на 24:

$\frac{72}{48} = \frac{3 \cdot 24}{2 \cdot 24} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

2)

Применим формулу разности квадратов к числителю дроби:

$\frac{79^2 - 65^2}{420} = \frac{(79 - 65)(79 + 65)}{420} = \frac{14 \cdot 144}{420}$

Сократим дробь. Заметим, что $420 = 42 \cdot 10 = 3 \cdot 14 \cdot 10 = 14 \cdot 30$.

$\frac{14 \cdot 144}{14 \cdot 30} = \frac{144}{30} = \frac{14,4}{3} = 4,8$

Ответ: 4,8

3)

Применим формулу разности квадратов к числителю и к знаменателю дроби:

$\frac{92^2 - 48^2}{27^2 - 17^2} = \frac{(92 - 48)(92 + 48)}{(27 - 17)(27 + 17)} = \frac{44 \cdot 140}{10 \cdot 44}$

Сократим дробь на общий множитель 44:

$\frac{140}{10} = 14$

Ответ: 14

4)

Применим формулу разности квадратов к числителю и к знаменателю дроби:

$\frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2} = \frac{(63 - 27)(63 + 27)}{(83 - 79)(83 + 79)} = \frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162}$

Упростим выражение, сократив дробь:

$\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{162} = \frac{810}{162}$

Разделив 810 на 162, получаем 5.

$\frac{810}{162} = 5$

Ответ: 5