Страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.53. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(a+2)^2-1;$

2) $16-(x+y)^2;$

3) $(5y-6)^2-49;$

4) $(m-7)^2-64;$

5) $16a^2-(4a+6)^2;$

6) $x^6-(2y^2-x^3)^2.$

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Представим выражение $(a+2)^2 - 1$ в виде разности квадратов, учитывая, что $1 = 1^2$.

В данном случае $a$ из формулы равно $(a+2)$, а $b$ равно $1$.

$(a+2)^2 - 1^2 = ((a+2)-1)((a+2)+1)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(a+2-1)(a+2+1) = (a+1)(a+3)$

Ответ: $(a+1)(a+3)$.

2) Представим выражение $16 - (x+y)^2$ в виде разности квадратов. Заметим, что $16 = 4^2$.

Здесь $a = 4$ и $b = (x+y)$.

$4^2 - (x+y)^2 = (4-(x+y))(4+(x+y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4-x-y)(4+x+y)$

Ответ: $(4-x-y)(4+x+y)$.

3) Представим выражение $(5y-6)^2 - 49$ в виде разности квадратов. Заметим, что $49 = 7^2$.

Здесь $a = (5y-6)$ и $b = 7$.

$(5y-6)^2 - 7^2 = ((5y-6)-7)((5y-6)+7)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(5y-6-7)(5y-6+7) = (5y-13)(5y+1)$

Ответ: $(5y-13)(5y+1)$.

4) Представим выражение $(m-7)^2 - 64$ в виде разности квадратов. Заметим, что $64 = 8^2$.

В этом случае $a = (m-7)$ и $b = 8$.

$(m-7)^2 - 8^2 = ((m-7)-8)((m-7)+8)$

Упростим выражения в скобках:

$(m-7-8)(m-7+8) = (m-15)(m+1)$

Ответ: $(m-15)(m+1)$.

5) Представим выражение $16a^2 - (4a+6)^2$ в виде разности квадратов. Заметим, что $16a^2 = (4a)^2$.

Здесь $a$ из формулы равно $4a$, а $b$ равно $(4a+6)$.

$(4a)^2 - (4a+6)^2 = (4a-(4a+6))(4a+(4a+6))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(4a-4a-6)(4a+4a+6) = (-6)(8a+6)$

Вынесем общий множитель $2$ из второй скобки, чтобы упростить выражение:

$-6 \cdot 2(4a+3) = -12(4a+3)$

Ответ: $-12(4a+3)$.

6) Представим выражение $x^6 - (2y^2-x^3)^2$ в виде разности квадратов. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$.

Здесь $a = x^3$ и $b = (2y^2-x^3)$.

$(x^3)^2 - (2y^2-x^3)^2 = (x^3-(2y^2-x^3))(x^3+(2y^2-x^3))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^3-2y^2+x^3)(x^3+2y^2-x^3) = (2x^3-2y^2)(2y^2)$

Вынесем общий множитель $2$ из первой скобки:

$2(x^3-y^2)(2y^2) = 4y^2(x^3-y^2)$

Ответ: $4y^2(x^3-y^2)$.

5.54. Разложите на множители:

1) $(5a+6)^2-81;$

2) $25-(a+7)^2;$

3) $9m^2-(1+2m)^2;$

4) $(5x-3y)^2-16x^2;$

5) $(5c-3d)^2-9d^2;$

6) $49m^2-(n+8m)^2.$

1) Для разложения на множители выражения $(5a+6)^2-81$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $81 = 9^2$:
$(5a+6)^2 - 9^2$.
В данном случае $x = 5a+6$ и $y = 9$.
Применяем формулу:
$((5a+6) - 9)((5a+6) + 9)$.
Упрощаем выражения в каждой скобке:
$(5a + 6 - 9)(5a + 6 + 9) = (5a - 3)(5a + 15)$.
Во втором множителе $(5a + 15)$ можно вынести общий множитель 5 за скобки:
$(5a - 3) \cdot 5(a + 3) = 5(5a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $5(5a - 3)(a + 3)$.

2) Для разложения на множители выражения $25-(a+7)^2$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $25 = 5^2$:
$5^2 - (a+7)^2$.
Здесь $x = 5$ и $y = a+7$.
Применяем формулу:
$(5 - (a+7))(5 + (a+7))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой:
$(5 - a - 7)(5 + a + 7) = (-a - 2)(a + 12)$.
Для более стандартного вида вынесем знак минус из первого множителя:
$-(a + 2)(a + 12)$.
Ответ: $-(a + 2)(a + 12)$.

3) Для разложения на множители выражения $9m^2-(1+2m)^2$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $9m^2 = (3m)^2$:
$(3m)^2 - (1+2m)^2$.
Здесь $x = 3m$ и $y = 1+2m$.
Применяем формулу:
$(3m - (1+2m))(3m + (1+2m))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(3m - 1 - 2m)(3m + 1 + 2m) = (m - 1)(5m + 1)$.
Ответ: $(m - 1)(5m + 1)$.

4) Для разложения на множители выражения $(5x-3y)^2-16x^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $16x^2 = (4x)^2$:
$(5x-3y)^2 - (4x)^2$.
Здесь $a = 5x-3y$ и $b = 4x$.
Применяем формулу:
$((5x-3y) - 4x)((5x-3y) + 4x)$.
Упрощаем выражения в каждой скобке:
$(5x - 3y - 4x)(5x - 3y + 4x) = (x - 3y)(9x - 3y)$.
Во втором множителе $(9x - 3y)$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$(x - 3y) \cdot 3(3x - y) = 3(x - 3y)(3x - y)$.
Ответ: $3(x - 3y)(3x - y)$.

5) Для разложения на множители выражения $(5c-3d)^2-9d^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $9d^2 = (3d)^2$:
$(5c-3d)^2 - (3d)^2$.
Здесь $a = 5c-3d$ и $b = 3d$.
Применяем формулу:
$((5c-3d) - 3d)((5c-3d) + 3d)$.
Упрощаем выражения в каждой скобке:
$(5c - 3d - 3d)(5c - 3d + 3d) = (5c - 6d)(5c)$.
Для удобства записи поставим одночленный множитель в начале:
$5c(5c - 6d)$.
Ответ: $5c(5c - 6d)$.

6) Для разложения на множители выражения $49m^2-(n+8m)^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов, заметив, что $49m^2 = (7m)^2$:
$(7m)^2 - (n+8m)^2$.
Здесь $a = 7m$ и $b = n+8m$.
Применяем формулу:
$(7m - (n+8m))(7m + (n+8m))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(7m - n - 8m)(7m + n + 8m) = (-m - n)(15m + n)$.
Вынесем знак минус из первого множителя:
$-(m + n)(15m + n)$.
Ответ: $-(m + n)(15m + n)$.

5.55. Вычислите:

1) $2,1 \cdot 1,9$;

2) $4,02 \cdot 3,98$;

3) $19,8 \cdot 20,2$;

4) $1,05 \cdot 0,95$;

5) $\left(3\frac{2}{3}\right)^2 - \left(2\frac{1}{3}\right)^2$;

6) $\left(4\frac{1}{6}\right)^2 - \left(1\frac{1}{6}\right)^2$;

7) $\left(5\frac{2}{3}\right)^2 - \left(4\frac{1}{3}\right)^2$;

8) $21,3^2 - 21,2^2$.

1) Для вычисления произведения $2,1 \cdot 1,9$ удобно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Для этого представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа. Среднее арифметическое чисел $2,1$ и $1,9$ равно $(2,1+1,9)/2 = 2$. Тогда $2,1 = 2 + 0,1$, а $1,9 = 2 - 0,1$.
$2,1 \cdot 1,9 = (2 + 0,1)(2 - 0,1) = 2^2 - 0,1^2 = 4 - 0,01 = 3,99$.
Ответ: $3,99$.

2) Для вычисления произведения $4,02 \cdot 3,98$ применим формулу разности квадратов. Представим множители в виде суммы и разности: $4,02 = 4 + 0,02$ и $3,98 = 4 - 0,02$.
$4,02 \cdot 3,98 = (4 + 0,02)(4 - 0,02) = 4^2 - 0,02^2 = 16 - 0,0004 = 15,9996$.
Ответ: $15,9996$.

3) Для вычисления произведения $19,8 \cdot 20,2$ используем тот же подход. Представим $19,8 = 20 - 0,2$ и $20,2 = 20 + 0,2$.
$19,8 \cdot 20,2 = (20 - 0,2)(20 + 0,2) = 20^2 - 0,2^2 = 400 - 0,04 = 399,96$.
Ответ: $399,96$.

4) Для вычисления произведения $1,05 \cdot 0,95$ представим множители в виде $1,05 = 1 + 0,05$ и $0,95 = 1 - 0,05$.
$1,05 \cdot 0,95 = (1 + 0,05)(1 - 0,05) = 1^2 - 0,05^2 = 1 - 0,0025 = 0,9975$.
Ответ: $0,9975$.

5) В данном выражении $(3\frac{2}{3})^2 - (2\frac{1}{3})^2$ мы видим разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3\frac{2}{3}$ и $b = 2\frac{1}{3}$.
Вычислим разность и сумму:
$a - b = 3\frac{2}{3} - 2\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$
$a + b = 3\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 5\frac{3}{3} = 6$
Теперь перемножим полученные значения:
$(1\frac{1}{3}) \cdot 6 = \frac{4}{3} \cdot 6 = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: $8$.

6) Выражение $(4\frac{1}{6})^2 - (1\frac{1}{6})^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4\frac{1}{6}$ и $b = 1\frac{1}{6}$.
$a - b = 4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{6} = 3$
$a + b = 4\frac{1}{6} + 1\frac{1}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}$
Перемножим результаты:
$3 \cdot 5\frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{16}{3} = 16$.
Ответ: $16$.

7) Для выражения $(5\frac{2}{3})^2 - (4\frac{1}{3})^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 5\frac{2}{3}$ и $b = 4\frac{1}{3}$.
$a - b = 5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$
$a + b = 5\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} = 9\frac{3}{3} = 10$
Перемножим полученные значения:
$1\frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{4}{3} \cdot 10 = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$.
Ответ: $13\frac{1}{3}$.

8) Выражение $21,3^2 - 21,2^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 21,3$ и $b = 21,2$.
$a - b = 21,3 - 21,2 = 0,1$
$a + b = 21,3 + 21,2 = 42,5$
Перемножим результаты:
$0,1 \cdot 42,5 = 4,25$.
Ответ: $4,25$.

5.56. Найдите значение дроби:

1) $ \frac{72}{13^2 - 11^2}; $ 2) $ \frac{79^2 - 65^2}{420}; $ 3) $ \frac{92^2 - 48^2}{27^2 - 17^2}; $ 4) $ \frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2}. $

Для решения всех примеров используется формула сокращённого умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1)

Применим формулу разности квадратов к знаменателю дроби:

$\frac{72}{13^2 - 11^2} = \frac{72}{(13 - 11)(13 + 11)} = \frac{72}{2 \cdot 24} = \frac{72}{48}$

Сократим полученную дробь на 24:

$\frac{72}{48} = \frac{3 \cdot 24}{2 \cdot 24} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

2)

Применим формулу разности квадратов к числителю дроби:

$\frac{79^2 - 65^2}{420} = \frac{(79 - 65)(79 + 65)}{420} = \frac{14 \cdot 144}{420}$

Сократим дробь. Заметим, что $420 = 42 \cdot 10 = 3 \cdot 14 \cdot 10 = 14 \cdot 30$.

$\frac{14 \cdot 144}{14 \cdot 30} = \frac{144}{30} = \frac{14,4}{3} = 4,8$

Ответ: 4,8

3)

Применим формулу разности квадратов к числителю и к знаменателю дроби:

$\frac{92^2 - 48^2}{27^2 - 17^2} = \frac{(92 - 48)(92 + 48)}{(27 - 17)(27 + 17)} = \frac{44 \cdot 140}{10 \cdot 44}$

Сократим дробь на общий множитель 44:

$\frac{140}{10} = 14$

Ответ: 14

4)

Применим формулу разности квадратов к числителю и к знаменателю дроби:

$\frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2} = \frac{(63 - 27)(63 + 27)}{(83 - 79)(83 + 79)} = \frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162}$

Упростим выражение, сократив дробь:

$\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{162} = \frac{810}{162}$

Разделив 810 на 162, получаем 5.

$\frac{810}{162} = 5$

Ответ: 5

5.57. Представьте разность квадратов двух выражений в виде произведения:

1) $(2a+b)^2-(a-2b)^2$;

2) $(x+y)^2-(y-z)^2$;

3) $(p+q)^2-(p-q)^2$;

4) $(4a-b)^2-(2a+3b)^2$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

1) $(2a+b)^2-(a-2b)^2$

В этом выражении $A = (2a+b)$ и $B = (a-2b)$. Применим формулу разности квадратов:
$(2a+b)^2-(a-2b)^2 = ((2a+b) - (a-2b)) \cdot ((2a+b) + (a-2b))$
Упростим каждое выражение в скобках:
$(2a+b) - (a-2b) = 2a+b-a+2b = (2a-a) + (b+2b) = a+3b$
$(2a+b) + (a-2b) = 2a+b+a-2b = (2a+a) + (b-2b) = 3a-b$
Таким образом, исходное выражение равно произведению:
$(a+3b)(3a-b)$

Ответ: $(a+3b)(3a-b)$

2) $(x+y)^2-(y-z)^2$

Здесь $A = (x+y)$ и $B = (y-z)$. По формуле разности квадратов:
$(x+y)^2-(y-z)^2 = ((x+y) - (y-z)) \cdot ((x+y) + (y-z))$
Упростим выражения в скобках:
$(x+y) - (y-z) = x+y-y+z = x+z$
$(x+y) + (y-z) = x+y+y-z = x+2y-z$
В результате получаем произведение:
$(x+z)(x+2y-z)$

Ответ: $(x+z)(x+2y-z)$

3) $(p+q)^2-(p-q)^2$

В данном случае $A = (p+q)$ и $B = (p-q)$. Используем ту же формулу:
$(p+q)^2-(p-q)^2 = ((p+q) - (p-q)) \cdot ((p+q) + (p-q))$
Упрощаем скобки:
$(p+q) - (p-q) = p+q-p+q = 2q$
$(p+q) + (p-q) = p+q+p-q = 2p$
Перемножим полученные выражения:
$(2q) \cdot (2p) = 4pq$

Ответ: $4pq$

4) $(4a-b)^2-(2a+3b)^2$

Здесь $A = (4a-b)$ и $B = (2a+3b)$. По формуле разности квадратов:
$(4a-b)^2-(2a+3b)^2 = ((4a-b) - (2a+3b)) \cdot ((4a-b) + (2a+3b))$
Упрощаем выражения в скобках:
$(4a-b) - (2a+3b) = 4a-b-2a-3b = (4a-2a) + (-b-3b) = 2a-4b$
$(4a-b) + (2a+3b) = 4a-b+2a+3b = (4a+2a) + (-b+3b) = 6a+2b$
Получаем произведение $(2a-4b)(6a+2b)$. Вынесем общие множители из каждой скобки:
$2a-4b = 2(a-2b)$
$6a+2b = 2(3a+b)$
Тогда итоговое произведение:
$2(a-2b) \cdot 2(3a+b) = 4(a-2b)(3a+b)$

Ответ: $4(a-2b)(3a+b)$

5.58. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное.

Для доказательства этого утверждения возьмем два произвольных последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда следующее за ним число будет $n+1$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Нам необходимо найти разность их квадратов. Большее число — это $n+1$, а меньшее — $n$. Разность квадратов будет выглядеть как $(n+1)^2 - n^2$.

Для упрощения этого выражения можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = n+1$ и $b = n$:
$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n)((n+1) + n)$

Теперь упростим каждую из скобок:
Первая скобка: $(n+1) - n = 1$
Вторая скобка: $(n+1) + n = 2n + 1$

Перемножив результаты, получим:
$1 \cdot (2n + 1) = 2n + 1$

Итак, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда равна $2n+1$.

Любое целое число в форме $2k$, где $k$ — целое, является четным. Любое целое число в форме $2k+1$ является нечетным. Поскольку $n$ — натуральное число, то $2n$ — это всегда четное число. Если к четному числу прибавить 1, результат всегда будет нечетным.

Следовательно, выражение $2n+1$ всегда представляет собой нечетное число для любого натурального $n$.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ равна $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$, что по определению является нечетным числом для любого натурального $n$.

5.59. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(4n+5)^2-9$ делится на 8.

Чтобы доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(4n+5)^2-9$ делится на 8, преобразуем это выражение.

Мы можем представить данное выражение как разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4n+5$ и $b=3$.

$(4n+5)^2 - 9 = (4n+5)^2 - 3^2 = ((4n+5) - 3)((4n+5) + 3)$

Теперь упростим выражения в каждой из полученных скобок:

Первая скобка: $4n+5 - 3 = 4n + 2$

Вторая скобка: $4n+5 + 3 = 4n + 8$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде произведения:

$(4n+2)(4n+8)$

Для того чтобы показать делимость на 8, вынесем общие множители из каждого сомножителя в произведении:

Из первого множителя $(4n+2)$ выносим 2: $2(2n+1)$.

Из второго множителя $(4n+8)$ выносим 4: $4(n+2)$.

Получаем следующее произведение:

$2(2n+1) \cdot 4(n+2)$

Перемножив числовые коэффициенты 2 и 4, получаем 8:

$8 \cdot (2n+1)(n+2)$

По условию $n$ является натуральным числом, следовательно, выражения $(2n+1)$ и $(n+2)$ являются целыми числами. Их произведение $(2n+1)(n+2)$ также является целым числом.

В результате мы представили исходное выражение в виде $8k$, где $k = (2n+1)(n+2)$ — целое число. Произведение, у которого один из множителей равен 8, всегда делится на 8.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5.60. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(2n+11)^2-4n^2$ кратно $11$.

Чтобы доказать, что значение выражения $(2n+11)^2-4n^2$ кратно 11 при любом натуральном $n$, упростим данное выражение. Мы можем заметить, что это выражение является разностью квадратов.

Представим $4n^2$ как $(2n)^2$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(2n+11)^2 - (2n)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где в нашем случае $a = 2n+11$ и $b = 2n$.

Подставим наши значения в формулу:

$( (2n+11) - 2n ) \cdot ( (2n+11) + 2n )$

Теперь выполним действия в каждой из скобок:

В первой скобке: $2n + 11 - 2n = 11$

Во второй скобке: $2n + 11 + 2n = 4n + 11$

Таким образом, исходное выражение равно произведению результатов:

$11 \cdot (4n + 11)$

По условию, $n$ — натуральное число. Это значит, что $n \ge 1$. Следовательно, выражение в скобках $(4n+11)$ всегда будет целым числом.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 11, все выражение $11 \cdot (4n+11)$ делится на 11 нацело при любом натуральном $n$. Это и доказывает исходное утверждение.

Ответ: После преобразования по формуле разности квадратов исходное выражение принимает вид $11(4n+11)$. Так как $n$ — натуральное число, то $4n+11$ — целое число. Произведение 11 и целого числа всегда кратно 11, что и требовалось доказать.

5.61. Разложите на множители:

1) $a^2-b^2-2,5(a-b)$;

2) $m^2-n^2+1,5(m+n)$;

3) $x^2+5x+5y-y^2$;

4) $4c^2-b^2-2c+b$.

1) $a^2-b^2-2,5(a-b)$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$a^2-b^2-2,5(a-b) = (a-b)(a+b) - 2,5(a-b)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки:

$(a-b)((a+b) - 2,5) = (a-b)(a+b-2,5)$

Ответ: $(a-b)(a+b-2,5)$

2) $m^2-n^2+1,5(m+n)$

Применим формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$ к первым двум членам выражения:

$m^2-n^2+1,5(m+n) = (m-n)(m+n) + 1,5(m+n)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$(m+n)((m-n) + 1,5) = (m+n)(m-n+1,5)$

Ответ: $(m+n)(m-n+1,5)$

3) $x^2+5x+5y-y^2$

Сгруппируем члены выражения для дальнейшего разложения. Объединим члены с квадратами и члены с коэффициентом 5:

$(x^2 - y^2) + (5x + 5y)$

Применим к первой группе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель 5:

$(x-y)(x+y) + 5(x+y)$

Теперь у нас есть общий множитель $(x+y)$, который мы можем вынести за скобки:

$(x+y)((x-y)+5) = (x+y)(x-y+5)$

Ответ: $(x+y)(x-y+5)$

4) $4c^2-b^2-2c+b$

Сгруппируем члены выражения. Объединим члены с квадратами и линейные члены:

$(4c^2 - b^2) + (-2c + b)$

В первой группе используем формулу разности квадратов, учитывая, что $4c^2 = (2c)^2$. Во второй группе вынесем за скобку $-1$, чтобы получить общий множитель:

$(2c-b)(2c+b) - (2c-b)$

Теперь можно вынести общий множитель $(2c-b)$ за скобки:

$(2c-b)((2c+b) - 1) = (2c-b)(2c+b-1)$

Ответ: $(2c-b)(2c+b-1)$

5.62. Представьте в виде произведения:

1) $16a^{17}-a^{15};$

2) $m^{20}-\frac{16}{49}m^{18};$

3) $x^6-16x^2;$

4) $y^7-1\frac{7}{9}y^5.$

1) Чтобы представить выражение $16a^{17}-a^{15}$ в виде произведения, необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для обоих членов является $a$ в наименьшей степени, то есть $a^{15}$.
Выносим $a^{15}$ за скобки:
$16a^{17}-a^{15} = a^{15}(16a^{17-15} - a^{15-15}) = a^{15}(16a^2 - 1)$.
Выражение в скобках $16a^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, так как $16a^2 = (4a)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(4a)^2 - 1^2 = (4a - 1)(4a + 1)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом:
Ответ: $a^{15}(4a - 1)(4a + 1)$.

2) В выражении $m^{20} - \frac{16}{49}m^{18}$ найдем общий множитель. Это $m^{18}$.
Вынесем $m^{18}$ за скобки:
$m^{20} - \frac{16}{49}m^{18} = m^{18}(m^{20-18} - \frac{16}{49}m^{18-18}) = m^{18}(m^2 - \frac{16}{49})$.
Выражение в скобках $m^2 - \frac{16}{49}$ является разностью квадратов, поскольку $m^2 = (m)^2$ и $\frac{16}{49} = (\frac{4}{7})^2$.
Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:
$m^2 - (\frac{4}{7})^2 = (m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.
Итоговое произведение:
Ответ: $m^{18}(m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.

3) Для выражения $x^6 - 16x^2$ общим множителем является $x^2$.
Выносим $x^2$ за скобки:
$x^6 - 16x^2 = x^2(x^{6-2} - 16) = x^2(x^4 - 16)$.
Выражение в скобках $x^4 - 16$ является разностью квадратов, где $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Раскладываем по формуле разности квадратов:
$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.
Первый множитель $x^2 - 4$ также является разностью квадратов, где $x^2=(x)^2$ и $4=2^2$. Его тоже можно разложить:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Второй множитель $x^2 + 4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Собираем все множители вместе:
Ответ: $x^2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

4) В выражении $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$ сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Теперь выражение выглядит так: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.
Общий множитель здесь $y^5$. Вынесем его за скобки:
$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^{7-5} - \frac{16}{9}) = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$.
Выражение в скобках $y^2 - \frac{16}{9}$ является разностью квадратов, так как $y^2=(y)^2$ и $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$.
Раскладываем по формуле разности квадратов:
$y^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.
Окончательный вид произведения:
Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.