Страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

3. Докажите формулу (3).

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?

Пусть у нас есть два произвольных алгебраических выражения, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

Разность этих выражений будет $a - b$.

Сумма этих выражений будет $a + b$.

Требуется найти их произведение: $(a - b)(a + b)$.

Для этого раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго):

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Так как $a \cdot b$ и $b \cdot a$ — это одно и то же, мы можем записать:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Два средних члена, $ab$ и $-ab$, являются противоположными, и их сумма равна нулю, поэтому они взаимно уничтожаются:

$a^2 - b^2$

Это выражение называется разностью квадратов.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

Разность квадратов двух выражений $a$ и $b$ — это выражение вида $a^2 - b^2$.

Эта формула является одной из основных формул сокращенного умножения. Она утверждает, что разность квадратов двух выражений можно разложить на множители, которые представляют собой произведение разности и суммы этих выражений.

Математически это записывается следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

3. Докажите формулу (3).

Из контекста предыдущих вопросов следует, что под "формулой (3)" подразумевается формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Доказательство этого тождества заключается в преобразовании одной части равенства к виду другой. Проще всего преобразовать правую часть, раскрыв скобки.

Возьмем правую часть равенства: $(a - b)(a + b)$.

Применим распределительный закон умножения (умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки):

$(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $b \cdot a = a \cdot b$, получаем:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые. Члены $+ab$ и $-ab$ в сумме дают ноль и сокращаются:

$a^2 - b^2$

Таким образом, мы преобразовали правую часть $(a - b)(a + b)$ и получили левую часть $a^2 - b^2$. Равенство $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ является тождеством.

Ответ: Доказательство выполнено путем раскрытия скобок в выражении $(a - b)(a + b)$, что приводит к $a^2 + ab - ab - b^2$, и после сокращения подобных членов мы получаем $a^2 - b^2$. Таким образом, тождество $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ доказано.

5.35. Выполните умножение двучленов:

1) $(m+n)(m-n);$

2) $(q-p)(q+p);$

3) $(c-d)(d+c);$

4) $(a-c)(c+a);$

5) $(x+y)(y-x);$

6) $(y-5)(y+5);$

7) $(x+2)(2-x);$

8) $(1-a)(1+a);$

9) $(n-2m)(n+2m);$

10) $(2x-3y)(2x+3y);$

11) $(8a+9b)(9b-8a);$

12) $(5x+3y)(3y-5x).$

1) Для выполнения умножения используем формулу сокращенного умножения, известную как разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном выражении $(m+n)(m-n)$, $a=m$ и $b=n$.
$(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$.
Ответ: $m^2 - n^2$.

2) Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=q$ и $b=p$.
$(q-p)(q+p) = q^2 - p^2$.
Ответ: $q^2 - p^2$.

3) Во второй скобке поменяем слагаемые местами, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(d+c) = (c+d)$. Теперь выражение имеет вид $(c-d)(c+d)$. Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=c$ и $b=d$.
$(c-d)(c+d) = c^2 - d^2$.
Ответ: $c^2 - d^2$.

4) Аналогично предыдущему примеру, переставим слагаемые во второй скобке: $(c+a) = (a+c)$. Выражение примет вид $(a-c)(a+c)$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=a$ и $b=c$.
$(a-c)(a+c) = a^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 - c^2$.

5) Чтобы привести выражение к стандартному виду разности квадратов, переставим слагаемые в первой скобке: $(x+y) = (y+x)$. Теперь выражение выглядит так: $(y+x)(y-x)$. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=y$ и $b=x$.
$(y+x)(y-x) = y^2 - x^2$.
Ответ: $y^2 - x^2$.

6) Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=y$ и $b=5$.
$(y-5)(y+5) = y^2 - 5^2 = y^2 - 25$.
Ответ: $y^2 - 25$.

7) Переставим слагаемые в первой скобке: $(x+2) = (2+x)$. Выражение станет $(2+x)(2-x)$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2$ и $b=x$.
$(2+x)(2-x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$.
Ответ: $4 - x^2$.

8) Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=a$.
$(1-a)(1+a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$.
Ответ: $1 - a^2$.

9) Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=n$ и $b=2m$.
$(n-2m)(n+2m) = n^2 - (2m)^2 = n^2 - 4m^2$.
Ответ: $n^2 - 4m^2$.

10) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В этом примере $a=2x$ и $b=3y$.
$(2x-3y)(2x+3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$.
Ответ: $4x^2 - 9y^2$.

11) Переставим слагаемые в первой скобке: $(8a+9b) = (9b+8a)$. Выражение примет вид $(9b+8a)(9b-8a)$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=9b$ и $b=8a$.
$(9b+8a)(9b-8a) = (9b)^2 - (8a)^2 = 81b^2 - 64a^2$.
Ответ: $81b^2 - 64a^2$.

12) Переставим слагаемые в первой скобке: $(5x+3y) = (3y+5x)$. Получим выражение $(3y+5x)(3y-5x)$. Теперь можно применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=3y$ и $b=5x$.
$(3y+5x)(3y-5x) = (3y)^2 - (5x)^2 = 9y^2 - 25x^2$.
Ответ: $9y^2 - 25x^2$.

5.36. Выполните умножение двучленов:

1) $(m-3)(m+3);$

2) $(c-7)(c+7);$

3) $(4+5a)(5a-4);$

4) $(7x-2)(7x+2);$

5) $(8b+5a)(5a-8b);$

6) $(10p-6q)(10p+6q).$

Для выполнения умножения двучленов в каждом из пунктов используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1) В выражении $(m-3)(m+3)$ переменная $a$ соответствует $m$, а переменная $b$ соответствует $3$. Применяя формулу, получаем:

$(m-3)(m+3) = m^2 - 3^2 = m^2 - 9$

Ответ: $m^2 - 9$

2) В выражении $(c-7)(c+7)$ переменная $a$ соответствует $c$, а переменная $b$ соответствует $7$. Применяя формулу, получаем:

$(c-7)(c+7) = c^2 - 7^2 = c^2 - 49$

Ответ: $c^2 - 49$

3) В выражении $(4+5a)(5a-4)$ для удобства применения формулы поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(5a+4)(5a-4)$. Теперь переменная $a$ соответствует $5a$, а переменная $b$ соответствует $4$.

$(5a+4)(5a-4) = (5a)^2 - 4^2 = 25a^2 - 16$

Ответ: $25a^2 - 16$

4) В выражении $(7x-2)(7x+2)$ переменная $a$ соответствует $7x$, а переменная $b$ соответствует $2$. Применяя формулу, получаем:

$(7x-2)(7x+2) = (7x)^2 - 2^2 = 49x^2 - 4$

Ответ: $49x^2 - 4$

5) В выражении $(8b+5a)(5a-8b)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы привести его к виду $(a+b)(a-b)$: $(5a+8b)(5a-8b)$. Здесь переменная $a$ соответствует $5a$, а переменная $b$ соответствует $8b$.

$(5a+8b)(5a-8b) = (5a)^2 - (8b)^2 = 25a^2 - 64b^2$

Ответ: $25a^2 - 64b^2$

6) В выражении $(10p-6q)(10p+6q)$ переменная $a$ соответствует $10p$, а переменная $b$ соответствует $6q$. Применяя формулу, получаем:

$(10p-6q)(10p+6q) = (10p)^2 - (6q)^2 = 100p^2 - 36q^2$

Ответ: $100p^2 - 36q^2$

5.37. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $ (-c+d)(c+d); $

2) $ (-a+b)(b-a); $

3) $ (-x-y)(x-y); $

4) $ (a+b)(-a-b); $

5) $ (x-y)(y-x); $

6) $ (-a-b)(-a-b). $

1) Чтобы представить выражение $(-c+d)(c+d)$ в виде многочлена, поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(d-c)(c+d)$. Теперь можно применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=d$ и $b=c$.

$(d-c)(d+c) = d^2 - c^2$

Ответ: $d^2 - c^2$

2) В выражении $(-a+b)(b-a)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(b-a)(b-a)$. Это выражение равно квадрату разности $(b-a)^2$. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$

3) В выражении $(-x-y)(x-y)$ вынесем знак минус за скобки в первом множителе: $-(x+y)(x-y)$. Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$-(x+y)(x-y) = -(x^2 - y^2) = -x^2 + y^2 = y^2 - x^2$

Ответ: $y^2 - x^2$

4) В выражении $(a+b)(-a-b)$ вынесем знак минус за скобки во втором множителе: $(a+b)(-(a+b))$. Это можно записать как $-(a+b)(a+b) = -(a+b)^2$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$-(a+b)^2 = -(a^2 + 2ab + b^2) = -a^2 - 2ab - b^2$

Ответ: $-a^2 - 2ab - b^2$

5) В выражении $(x-y)(y-x)$ вынесем знак минус за скобки во втором множителе: $(x-y)(-(x-y))$. Это можно записать как $-(x-y)(x-y) = -(x-y)^2$. Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$-(x-y)^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$

Ответ: $-x^2 + 2xy - y^2$

6) Выражение $(-a-b)(-a-b)$ можно записать как $(-a-b)^2$. Вынесем знак минус из скобки: $(-(a+b))^2$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, получаем $(a+b)^2$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$