Страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие формулы называются формулами сокращенного умножения?

2. Чему равен квадрат суммы двух выражений?

3. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений.

4. Чему равен квадрат разности двух выражений?

5. Напишите формулу квадрата разности двух выражений.

6. Докажите формулы (1) и (2).

1. Какие формулы называются формулами сокращенного умножения?

Формулами сокращенного умножения называют готовые алгебраические тождества, которые позволяют выполнять умножение многочленов более простым и быстрым способом, избегая поэтапного перемножения каждого члена. Эти формулы применяются для упрощения выражений, разложения многочленов на множители и решения уравнений.
К основным формулам сокращенного умножения относятся:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: Формулы сокращенного умножения — это часто встречающиеся в алгебре тождества, позволяющие упростить и ускорить процесс умножения и разложения на множители многочленов.

2. Чему равен квадрат суммы двух выражений?

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Ответ: Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений и их удвоенного произведения.

3. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений.

Пусть даны два выражения, $a$ и $b$. Формула квадрата их суммы выглядит следующим образом:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

4. Чему равен квадрат разности двух выражений?

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Ответ: Квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.

5. Напишите формулу квадрата разности двух выражений.

Пусть даны два выражения, $a$ и $b$. Формула квадрата их разности выглядит следующим образом:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

6. Докажите формулы (1) и (2).

Предположим, что формула (1) — это квадрат суммы, а формула (2) — это квадрат разности.

Доказательство формулы (1): Квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

По определению возведения в квадрат, $(a+b)^2$ — это произведение выражения $(a+b)$ на само себя:
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$
Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена (используя распределительный закон):
$(a+b)(a+b) = a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$
Упростим полученное выражение:
$a^2 + ab + ba + b^2$
Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$), приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2$
Таким образом, мы доказали, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Доказательство формулы (2): Квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Аналогично, по определению возведения в квадрат:
$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$
Раскроем скобки, используя распределительный закон:
$(a-b)(a-b) = a \cdot (a-b) - b \cdot (a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b)$
Упростим полученное выражение:
$a^2 - ab - ba + b^2$
Приведем подобные слагаемые ($ab = ba$):
$a^2 - 2ab + b^2$
Таким образом, мы доказали, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Доказательства основаны на определении степени и распределительном законе умножения. Для квадрата суммы: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для квадрата разности: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

5.1. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(m+4)^2$;

2) $(c-b)^2$;

3) $(x+y)^2$;

4) $(p-q)^2$;

5) $(a-3)^2$;

6) $(b+4)^2$;

7) $(2x-y)^2$;

8) $(-2-a)^2$;

9) $(\frac{1}{2}+b)^2$;

10) $(0,3-y)^2$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) Чтобы представить выражение $(m+4)^2$ в виде многочлена, используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=m$ и $b=4$.
$(m+4)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = m^2 + 8m + 16$.
Ответ: $m^2 + 8m + 16$.

2) Для выражения $(c-b)^2$ применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=c$ и $b=b$.
$(c-b)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot b + b^2 = c^2 - 2cb + b^2$.
Ответ: $c^2 - 2cb + b^2$.

3) Выражение $(x+y)^2$ раскрывается по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=y$.
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$.

4) Для выражения $(p-q)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=p$ и $b=q$.
$(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Ответ: $p^2 - 2pq + q^2$.

5) Для раскрытия скобок в выражении $(a-3)^2$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=a$ и $b=3$.
$(a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$.
Ответ: $a^2 - 6a + 9$.

6) Для выражения $(b+4)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=b$ и $b=4$.
$(b+4)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 + 8b + 16$.
Ответ: $b^2 + 8b + 16$.

7) В выражении $(2x-y)^2$ применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=2x$ и $b=y$.
$(2x-y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$.
Ответ: $4x^2 - 4xy + y^2$.

8) Выражение $(-2-a)^2$ можно преобразовать, вынеся знак минус за скобки: $(-2-a)^2 = (-(2+a))^2 = (-1)^2 \cdot (2+a)^2 = (2+a)^2$.
Теперь используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=2$ и $y=a$.
$(2+a)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = 4 + 4a + a^2$.
Ответ: $a^2 + 4a + 4$.

9) Для выражения $(\frac{1}{2}+b)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=\frac{1}{2}$ и $b=b$.
$(\frac{1}{2}+b)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b + b^2 = \frac{1}{4} + b + b^2$.
Ответ: $b^2 + b + \frac{1}{4}$.

10) Для выражения $(0,3-y)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=0,3$ и $b=y$.
$(0,3-y)^2 = (0,3)^2 - 2 \cdot 0,3 \cdot y + y^2 = 0,09 - 0,6y + y^2$.
Ответ: $y^2 - 0,6y + 0,09$.

5.2. Преобразуйте выражение в многочлен:

1) $(x-1)^2$;

2) $(3a-b)^2$;

3) $(5z+t)^2$;

4) $(5x-2y)^2$;

5) $(6m-4n)^2$;

6) $(x+c)^2$;

7) $(a-4)^2$;

8) $(0,2a+b)^2$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) Для преобразования выражения $(x-1)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=x$ и $b=1$.

$(x-1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$.

Ответ: $x^2 - 2x + 1$.

2) Для выражения $(3a-b)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=3a$ и $b=b$.

$(3a-b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$.

Ответ: $9a^2 - 6ab + b^2$.

3) Для преобразования выражения $(5z+t)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=5z$ и $b=t$.

$(5z+t)^2 = (5z)^2 + 2 \cdot (5z) \cdot t + t^2 = 25z^2 + 10zt + t^2$.

Ответ: $25z^2 + 10zt + t^2$.

4) Для выражения $(5x-2y)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=5x$ и $b=2y$.

$(5x-2y)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 25x^2 - 20xy + 4y^2$.

Ответ: $25x^2 - 20xy + 4y^2$.

5) Для преобразования выражения $(6m-4n)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=6m$ и $b=4n$.

$(6m-4n)^2 = (6m)^2 - 2 \cdot (6m) \cdot (4n) + (4n)^2 = 36m^2 - 48mn + 16n^2$.

Ответ: $36m^2 - 48mn + 16n^2$.

6) Для выражения $(x+c)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=x$ и $b=c$.

$(x+c)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot c + c^2 = x^2 + 2xc + c^2$.

Ответ: $x^2 + 2xc + c^2$.

7) Для преобразования выражения $(a-4)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=a$ и $b=4$.

$(a-4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$.

Ответ: $a^2 - 8a + 16$.

8) Для выражения $(0,2a+b)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=0,2a$ и $b=b$.

$(0,2a+b)^2 = (0,2a)^2 + 2 \cdot (0,2a) \cdot b + b^2 = 0,04a^2 + 0,4ab + b^2$.

Ответ: $0,04a^2 + 0,4ab + b^2$.