Страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.35. Из генеральной совокупности отобрали выборку. Найдите:

а) объем выборки;

б) вариационный ряд частот;

в) постройте полигон частот:

1) 2, 1, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 5, 4, 2, 3;

2) 4, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 5, 3, 5, 6, 8, 5, 3, 4, 6.

1)

а) объем выборки;

Объем выборки $n$ — это общее количество элементов в ней. В представленной выборке 2, 1, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 5, 4, 2, 3 содержится 20 элементов.

Ответ: Объем выборки $n = 20$.

б) вариационный ряд частот;

Для построения вариационного ряда частот сначала необходимо определить уникальные значения (варианты $x_i$) и подсчитать, сколько раз каждое из них встречается в выборке (частоту $n_i$).

Уникальные значения (варианты): 1, 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем их частоты:

• Для варианты $x_1 = 1$ частота $n_1 = 2$.
• Для варианты $x_2 = 2$ частота $n_2 = 4$.
• Для варианты $x_3 = 3$ частота $n_3 = 6$.
• Для варианты $x_4 = 4$ частота $n_4 = 5$.
• Для варианты $x_5 = 5$ частота $n_5 = 3$.

Сумма частот: $\sum n_i = 2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20$, что соответствует объему выборки.

Ответ: Вариационный ряд частот представлен в таблице:

в) постройте полигон частот:

Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами $(x_i, n_i)$, где $x_i$ — варианта, а $n_i$ — соответствующая ей частота. Для построения полигона на оси абсцисс откладываются варианты, а на оси ординат — частоты.

Координаты точек для построения полигона:

• (1, 2)
• (2, 4)
• (3, 6)
• (4, 5)
• (5, 3)

Ответ: Для построения полигона частот необходимо на координатной плоскости отметить точки (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 3) и последовательно соединить их отрезками прямой.

2)

а) объем выборки;

Объем выборки $n$ — это общее количество элементов в ней. В представленной выборке 4, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 5, 3, 5, 6, 8, 5, 3, 4, 6 содержится 20 элементов.

Ответ: Объем выборки $n = 20$.

б) вариационный ряд частот;

Определим уникальные значения (варианты $x_i$) и подсчитаем их частоты $n_i$.

Уникальные значения (варианты): 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Подсчитаем их частоты:

• Для варианты $x_1 = 3$ частота $n_1 = 3$.
• Для варианты $x_2 = 4$ частота $n_2 = 4$.
• Для варианты $x_3 = 5$ частота $n_3 = 4$.
• Для варианты $x_4 = 6$ частота $n_4 = 5$.
• Для варианты $x_5 = 7$ частота $n_5 = 2$.
• Для варианты $x_6 = 8$ частота $n_6 = 2$.

Сумма частот: $\sum n_i = 3 + 4 + 4 + 5 + 2 + 2 = 20$, что соответствует объему выборки.

Ответ: Вариационный ряд частот представлен в таблице:

в) постройте полигон частот:

Полигон частот строится путем соединения точек с координатами $(x_i, n_i)$, где $x_i$ — варианта, а $n_i$ — ее частота. На оси абсцисс откладываются варианты, на оси ординат — частоты.

Координаты точек для построения полигона:

• (3, 3)
• (4, 4)
• (5, 4)
• (6, 5)
• (7, 2)
• (8, 2)

Ответ: Для построения полигона частот необходимо на координатной плоскости отметить точки (3, 3), (4, 4), (5, 4), (6, 5), (7, 2), (8, 2) и последовательно соединить их отрезками прямой.

4.36. Из некоторой генеральной совокупности отобрана выборка 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

а) Составьте вариационный ряд.

б) Найдите объем выборки.

в) Составьте вариационный ряд частот.

г) Постройте полигон частот.

а) Вариационный ряд — это упорядоченная последовательность значений выборки в порядке их возрастания. Исходная выборка состоит из следующих чисел: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Расположив эти значения от наименьшего к наибольшему, мы получаем вариационный ряд.

Ответ: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

б) Объем выборки, обозначаемый как $n$, представляет собой общее число наблюдений (элементов) в выборке. Для его определения достаточно пересчитать все числа в предоставленном ряду.

В данной выборке содержится 15 элементов.

Ответ: Объем выборки $n = 15$.

в) Вариационный ряд частот — это таблица, которая показывает, какие уникальные значения (варианты) присутствуют в выборке и как часто каждое из них встречается (частота). Для его составления необходимо определить все уникальные значения $x_i$ и подсчитать их частоты $n_i$.

• Значение 2 встречается 3 раза ($n_1=3$).
• Значение 3 встречается 1 раз ($n_2=1$).
• Значение 4 встречается 2 раза ($n_3=2$).
• Значение 5 встречается 3 раза ($n_4=3$).
• Значение 7 встречается 4 раза ($n_5=4$).
• Значение 10 встречается 2 раза ($n_6=2$).

Проверка: сумма всех частот должна быть равна объему выборки: $\sum n_i = 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 2 = 15$. Это соответствует найденному объему выборки $n=15$.

Ответ: Вариационный ряд частот представлен в следующей таблице:

г) Полигон частот — это графическое представление вариационного ряда частот в виде ломаной линии. Для его построения на координатной плоскости отмечают точки с координатами ($x_i, n_i$), где $x_i$ — варианта (откладывается по оси абсцисс), а $n_i$ — соответствующая ей частота (откладывается по оси ординат). Затем эти точки последовательно соединяются отрезками.

Используя данные из таблицы частот, мы получаем следующие точки для построения графика: (2, 3), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 4), (10, 2).

Ответ: Полигон частот для данной выборки выглядит следующим образом:

4.37. При изучении некоторой генеральной совокупности по результатам 40 независимых наблюдений получены данные:

10, 13, 10, 9, 9, 12, 12, 6, 7, 9,

8, 9, 11, 9, 14, 13, 9, 8, 8, 7,

10, 10, 11, 11, 11, 12, 8, 7, 9, 10,

14, 13, 8, 10, 9, 7, 10, 9, 8, 12.

а) Составьте вариационный ряд.

б) Составьте вариационный ряд относительных частот.

в) Постройте полигон частот.

В условии задачи указано, что имеется 40 независимых наблюдений. Однако при подсчете представленных данных их оказывается 39. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Для выполнения задания в соответствии с условием ($n=40$) предположим, что одно число было пропущено. Основываясь на представленных данных, наиболее разумным будет предположить, что пропущено число 10, так как оно часто встречается в выборке и стоит последним в строке с 9 числами. Таким образом, все дальнейшие расчеты проводятся для выборки объемом $n=40$, в которой частота варианта 10 увеличена с 7 до 8.

Сначала проведем подсчет частот для каждого уникального значения (варианты) в выборке с учетом нашего предположения.

• Значение 6: 1 раз
• Значение 7: 4 раза
• Значение 8: 6 раз
• Значение 9: 9 раз
• Значение 10: 8 раз (7 в списке + 1 предполагаемое)
• Значение 11: 3 раза
• Значение 12: 4 раза
• Значение 13: 3 раза
• Значение 14: 2 раза

Проверим общее количество наблюдений: $1 + 4 + 6 + 9 + 8 + 3 + 4 + 3 + 2 = 40$.

а) Составьте вариационный ряд

Вариационный ряд представляет собой таблицу, в которой каждому значению варианты $x_i$ ставится в соответствие его частота $n_i$ (сколько раз это значение встретилось в выборке).

Ответ:

б) Составьте вариационный ряд относительных частот

Относительная частота $W_i$ для каждой варианты вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — частота варианты, а $n$ — общий объем выборки ($n=40$). Сумма всех относительных частот должна быть равна 1.

• $W_1(x=6) = 1/40 = 0.025$
• $W_2(x=7) = 4/40 = 0.1$
• $W_3(x=8) = 6/40 = 0.15$
• $W_4(x=9) = 9/40 = 0.225$
• $W_5(x=10) = 8/40 = 0.2$
• $W_6(x=11) = 3/40 = 0.075$
• $W_7(x=12) = 4/40 = 0.1$
• $W_8(x=13) = 3/40 = 0.075$
• $W_9(x=14) = 2/40 = 0.05$

Проверка: $0.025 + 0.1 + 0.15 + 0.225 + 0.2 + 0.075 + 0.1 + 0.075 + 0.05 = 1.0$.

Ответ:

в) Постройте полигон частот

Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами $(x_i, n_i)$, где $x_i$ — варианта, а $n_i$ — ее частота. По оси абсцисс откладываются значения вариант, а по оси ординат — соответствующие им частоты.

Ответ:

4.38. Арифметическое среднее значение выборки с объемом 10 равно 25. Наименьшее значение выборки равно 7 и оно намного меньше, чем другие варианты. Поэтому это значение сняли из состава выборки. Каким станет среднее арифметическое остальных значений выборки?

Для решения задачи воспользуемся определением среднего арифметического. Среднее арифметическое — это отношение суммы всех значений выборки к их количеству.

Пусть $S_{10}$ — сумма десяти первоначальных значений выборки, а $n_1 = 10$ — их количество. Среднее арифметическое, по условию, равно 25.

Формула среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{S}{n}$

Отсюда можем найти первоначальную сумму всех значений выборки:

$S_{10} = \bar{x} \cdot n_1 = 25 \cdot 10 = 250$

Из выборки было удалено одно значение, равное 7. Следовательно, количество значений в выборке уменьшилось, и теперь составляет:

$n_2 = 10 - 1 = 9$

Сумма значений новой выборки ($S_9$) также уменьшилась на величину удаленного значения:

$S_9 = S_{10} - 7 = 250 - 7 = 243$

Теперь найдем новое среднее арифметическое для оставшихся девяти значений:

$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{S_9}{n_2} = \frac{243}{9} = 27$

Ответ: 27.

4.39. Объем выборки равен 15, а ее среднее арифметическое значение равно 220. В состав данной выборки добавили варианту 252. Как изменится среднее арифметическое значение?

Для того чтобы определить, как изменится среднее арифметическое значение, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти сумму всех элементов исходной выборки.
Среднее арифметическое ( $\bar{x}$ ) вычисляется как отношение суммы всех элементов выборки ( $S$ ) к их количеству ( $n$ ):$ \bar{x} = \frac{S}{n} $Из этой формулы можно выразить сумму элементов: $S = \bar{x} \cdot n$.По условию, начальный объем выборки $n_1 = 15$, а ее среднее арифметическое $\bar{x}_1 = 220$.Следовательно, начальная сумма всех элементов выборки $S_1$ равна:$S_1 = 220 \cdot 15 = 3300$.

2. Рассчитать параметры новой выборки.
После добавления в выборку нового значения (варианты) 252, объем выборки и сумма ее элементов изменятся.
Новый объем выборки $n_2$ будет равен:$n_2 = n_1 + 1 = 15 + 1 = 16$.
Новая сумма элементов $S_2$ будет равна начальной сумме плюс добавленное значение:$S_2 = S_1 + 252 = 3300 + 252 = 3552$.

3. Вычислить новое среднее арифметическое.
Теперь можно рассчитать новое среднее арифметическое значение $\bar{x}_2$ для обновленной выборки:$\bar{x}_2 = \frac{S_2}{n_2} = \frac{3552}{16} = 222$.

4. Сравнить новое и старое средние значения.
Исходное среднее арифметическое было равно 220, а новое стало равно 222.Найдем разницу: $222 - 220 = 2$.

Ответ: Среднее арифметическое значение увеличится на 2.

4.40. Соревнования по фигурному катанию оценивают 10 судей. За выступление спортсмена все судьи выставили свои оценки, причем их арифметическое среднее равно 5,4. По правилу игры самая низкая и самая высокая оценки отбрасываются и выставляется арифметическое среднее остальных оценок. Эта оценка спортсмена была равна 5,4. Чему равна сумма отброшенных оценок?

Для решения этой задачи нам нужно найти сумму двух отброшенных оценок — самой низкой и самой высокой.

1. Сначала найдем сумму всех 10 оценок.
Известно, что количество судей равно 10, а среднее арифметическое их оценок составляет 5,4. Среднее арифметическое — это сумма всех оценок, деленная на их количество.
Пусть $S_{10}$ — это сумма всех десяти оценок. Тогда:
$\frac{S_{10}}{10} = 5,4$
Отсюда находим $S_{10}$:
$S_{10} = 5,4 \times 10 = 54$.

2. Теперь найдем сумму оставшихся 8 оценок.
По правилам, самая низкая и самая высокая оценки отбрасываются, то есть убирают 2 оценки. Остается $10 - 2 = 8$ оценок.
Среднее арифметическое этих оставшихся восьми оценок также равно 5,4.
Пусть $S_{8}$ — это сумма оставшихся восьми оценок. Тогда:
$\frac{S_{8}}{8} = 5,4$
Отсюда находим $S_{8}$:
$S_{8} = 5,4 \times 8 = 43,2$.

3. Найдем сумму отброшенных оценок.
Сумма отброшенных оценок — это разница между суммой всех десяти оценок и суммой оставшихся восьми оценок.
Сумма отброшенных оценок = $S_{10} - S_{8} = 54 - 43,2 = 10,8$.

Ответ: 10,8.