Страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое полигон абсолютных (относительных) частот? Как он строится?

2. Как подсчитывают относительные частоты в процентах?

3. В чем сходство и различие полигонов частот и относительных частот на рисунках 4.1.–4.3? Как можно объяснить это?

ПЗ

В упражнении 4.7 вы составили вариационный ряд абсолютных (относительных) частот для длин слов в тексте Гимна Казахстана. Постройте полигон абсолютных частот этой задачи на компьютере, используя программу Excel. Пошагово это выполняют так:

1) Открываем программу Excel.

2) Находим MS Excel – полигон частот.

3) Из таблицы выделяем 2 столбца: в первом столбце набираем варианты, а во втором – частоты. Нажимаем на кнопку – Выводим мастер диаграмм.

На экране монитора появятся 4 указания, данные ниже.

1) Определите тип графика (точечная диаграмма, соединяющая значения отрезками).

2) Указать первоначальные данные (они уже набраны):

X – варианты, Y – соответствующие частоты.

3) Можно задать дополнительные параметры оформления (можно и не задавать).

4) Нужно указать место, куда нужно поставить диаграмму.

Полигон частот готов.

Рис. 4.1

Таблица относительных частот имеет вид:

Рис. 4.2

Иногда относительные частоты записывают в виде процента. Тогда для данного примера таблица относительных частот в процентах имеет вид:

Рис. 4.3

1. Что такое полигон абсолютных (относительных) частот? Как он строится?

Полигон частот – это один из способов графического представления статистических данных. Он представляет собой ломаную линию, которая наглядно показывает, как изменяется частота появления тех или иных значений (вариант) в выборке.

Если на вертикальной оси откладываются абсолютные частоты (количество раз, которое встречается каждое значение), то полигон называется полигоном абсолютных частот. Если же откладываются относительные частоты (доля каждого значения в общем объеме выборки), то это полигон относительных частот.

Построение полигона частот выполняется следующим образом:

1. Составляется вариационный ряд: данные упорядочиваются, и для каждого уникального значения (варианты $x_i$) подсчитывается его частота (абсолютная $n_i$ или относительная $w_i$).

2. Строится система координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения вариант ($x_i$). На вертикальной оси (оси ординат) откладываются соответствующие им частоты ($n_i$ или $w_i$).

3. В системе координат отмечаются точки с координатами ($x_i$; $n_i$) для полигона абсолютных частот или ($x_i$; $w_i$) для полигона относительных частот.

4. Отмеченные точки последовательно соединяются отрезками прямых. Полученная ломаная линия и является полигоном частот.

Ответ: Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки, абсциссами которых являются значения вариант, а ординатами — соответствующие им абсолютные или относительные частоты. Он строится путем нанесения этих точек на координатную плоскость и их последовательного соединения отрезками.

2. Как подсчитывают относительные частоты в процентах?

Относительная частота ($w_i$) показывает, какую долю составляет частота данной варианты ($n_i$) от общего числа наблюдений (объема выборки $N$). Она вычисляется по формуле: $w_i = \frac{n_i}{N}$

Результат этого деления является десятичной дробью (или обыкновенной). Чтобы выразить эту долю в процентах, полученное значение нужно умножить на 100%.

Таким образом, формула для расчета относительной частоты в процентах ($w_i\%$) выглядит так: $w_i\% = w_i \cdot 100\% = \frac{n_i}{N} \cdot 100\%$

Например, для данных из таблицы на рис. 4.1 найдем общий объем выборки: $N = 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 10 + 7 + 5 = 50$

Тогда относительная частота для варианты $x_1 = 33$ (с абсолютной частотой $n_1 = 2$) в процентах будет: $w_1\% = \frac{2}{50} \cdot 100\% = 0.04 \cdot 100\% = 4\%$ Это значение соответствует данным на рис. 4.3.

Ответ: Чтобы подсчитать относительную частоту в процентах, нужно абсолютную частоту разделить на общий объем выборки и полученный результат умножить на 100%.

3. В чем сходство и различие полигонов частот и относительных частот на рисунках 4.1.-4.3? Как можно объяснить это?

Сходство: Все три полигона на рисунках 4.1, 4.2 и 4.3 имеют абсолютно одинаковую форму. Ломаные линии на всех трех графиках поднимаются и опускаются синхронно, пики и впадины находятся при одних и тех же значениях на горизонтальной оси ($x_i$). Это означает, что все три графика отражают одну и ту же закономерность распределения данных.

Различие: Основное различие между полигонами заключается в масштабе и наименовании вертикальной оси (оси ординат).

• На рис. 4.1 по вертикальной оси отложены абсолютные частоты ($n_i$) — целые числа, показывающие количество повторений (например, 2, 5, 10).

• На рис. 4.2 по вертикальной оси отложены относительные частоты ($w_i$) — безразмерные величины (доли), представленные в виде десятичных дробей (например, 0.04, 0.1, 0.2) или обыкновенных дробей ($2/50$, $5/50$, $10/50$).

• На рис. 4.3 по вертикальной оси отложены относительные частоты в процентах ($w_i\%$) — значения, полученные умножением относительных частот на 100 (например, 4%, 10%, 20%).

Объяснение: Сходство формы объясняется тем, что полигоны относительных частот (рис. 4.2 и 4.3) получаются из полигона абсолютных частот (рис. 4.1) путем линейного преобразования (масштабирования) значений по оси ординат.

1. Чтобы перейти от абсолютных частот ($n_i$) к относительным ($w_i$), каждое значение $n_i$ делится на одну и ту же константу — объем выборки $N$ (в данном случае $N=50$). $w_i = n_i / 50$. Такое преобразование сжимает график по вертикали, но не меняет его форму.

2. Чтобы перейти от относительных частот ($w_i$) к процентным ($w_i\%$), каждое значение $w_i$ умножается на константу 100. $w_i\% = w_i \cdot 100$. Это преобразование растягивает график по вертикали, также не изменяя его общую форму.

Таким образом, все три графика геометрически подобны, так как они отображают одну и ту же структуру данных, но в разных масштабах.

Ответ: Сходство полигонов в их одинаковой форме, а различие — в масштабе и единицах измерения по вертикальной оси (абсолютные числа, доли или проценты). Это объясняется тем, что относительные частоты получаются из абсолютных путем деления на постоянное число (объем выборки), а процентные — умножением на 100, что является операцией масштабирования, сохраняющей форму графика.