Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21.

Данная таблица представляет собой дискретный вариационный ряд. В верхней строке $x$ указаны варианты (значения) выборки, а в нижней $n_i$ — соответствующие им частоты, то есть количество раз, которое данное значение встречается в выборке. Для этого ряда найдем основные статистические характеристики.

а) Объем выборки

Объем выборки $N$ — это сумма всех частот. Он показывает общее количество элементов в выборке.

$N = \sum n_i = 1 + 3 + 4 + 2 = 10$.

Ответ: 10

б) Мода выборки

Мода ($Mo$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Для нахождения моды необходимо найти вариант с наибольшей частотой.

Из таблицы видно, что наибольшая частота равна 4, и она соответствует значению $x = 7$.

Ответ: 7

в) Медиана выборки

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную по возрастанию выборку на две равные по количеству элементов части.

Сначала представим выборку в виде упорядоченного ряда, повторив каждое значение соответствующее его частоте число раз:
2, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9, 9.

Объем выборки $N = 10$ — четное число. В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов в упорядоченном ряду: $N/2 = 10/2 = 5$ и $N/2 + 1 = 6$.

Пятый элемент выборки равен 7, шестой элемент также равен 7.

$Me = \frac{7 + 7}{2} = 7$.

Ответ: 7

г) Среднее арифметическое выборки

Среднее арифметическое (или выборочное среднее) $\bar{x}$ для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{N} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3 + x_4 n_4}{N}$

Подставим значения из таблицы:

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 9 \cdot 2}{10} = \frac{2 + 15 + 28 + 18}{10} = \frac{63}{10} = 6.3$.

Ответ: 6.3

д) Размах выборки

Размах ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.

$x_{max} = 9$
$x_{min} = 2$

$R = x_{max} - x_{min} = 9 - 2 = 7$.

Ответ: 7

е) Дисперсия выборки

Дисперсия ($D_B$) характеризует меру разброса данных вокруг среднего значения. Она вычисляется по формуле:

$D_B = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

Мы уже нашли, что $\bar{x} = 6.3$ и $N=10$. Рассчитаем сумму квадратов отклонений:

$\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i = (2 - 6.3)^2 \cdot 1 + (5 - 6.3)^2 \cdot 3 + (7 - 6.3)^2 \cdot 4 + (9 - 6.3)^2 \cdot 2$

$= (-4.3)^2 \cdot 1 + (-1.3)^2 \cdot 3 + (0.7)^2 \cdot 4 + (2.7)^2 \cdot 2$

$= 18.49 \cdot 1 + 1.69 \cdot 3 + 0.49 \cdot 4 + 7.29 \cdot 2$

$= 18.49 + 5.07 + 1.96 + 14.58 = 40.1$

Теперь найдем дисперсию:

$D_B = \frac{40.1}{10} = 4.01$.

Ответ: 4.01

ж) Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения выборки отклоняются от среднего арифметического.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{4.01} \approx 2.0025$.

Округлим результат до сотых.

Ответ: $\sqrt{4.01} \approx 2.00$

4.22.

Дана таблица, представляющая дискретный вариационный ряд:

Здесь $x_i$ — это значения (варианты), которые принимает случайная величина, а $n_i$ — это соответствующие им частоты (сколько раз каждое значение встречается в выборке). Поскольку конкретный вопрос не задан, выполним стандартный статистический анализ данных, найдя основные числовые характеристики этой выборки.

1. Определение объема выборки

Объем выборки $n$ — это сумма всех частот. Он показывает общее количество наблюдений в исследовании.

$n = \sum_{i=1}^{4} n_i = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$

Ответ: Объем выборки $n = 10$.

2. Нахождение моды

Мода ($Mo$) — это значение признака (варианта), имеющее наибольшую частоту в выборке. В данном ряду наибольшая частота равна 4, и она соответствует варианте $x = 4$.

Ответ: Мода $Mo = 4$.

3. Нахождение медианы

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию вариационный ряд на две равные по числу членов части. Так как объем выборки $n=10$ является четным числом, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений, стоящих на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

Для нахождения этих значений представим всю выборку в виде упорядоченного ряда: 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7.

Центральные элементы находятся на 5-й ($10/2=5$) и 6-й ($10/2+1=6$) позициях. В нашем ряду на этих местах стоят значения 5 и 5.

$Me = \frac{5 + 5}{2} = 5$

Ответ: Медиана $Me = 5$.

4. Вычисление выборочного среднего

Выборочное среднее ($\bar{x}$) является средней арифметической всех значений выборки и вычисляется по формуле для сгруппированных данных:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_i n_i}{n}$

Найдем сумму произведений вариант на их частоты:

$\sum x_i n_i = (4 \cdot 4) + (5 \cdot 3) + (6 \cdot 2) + (7 \cdot 1) = 16 + 15 + 12 + 7 = 50$

Теперь вычислим среднее значение:

$\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x} = 5$.

5. Вычисление выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Выборочная дисперсия ($D_B$) — это мера разброса значений в выборке относительно выборочного среднего. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего. Удобная формула для расчета:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_i^2 n_i}{n}$.

Сначала найдем $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (4^2 \cdot 4) + (5^2 \cdot 3) + (6^2 \cdot 2) + (7^2 \cdot 1) = (16 \cdot 4) + (25 \cdot 3) + (36 \cdot 2) + (49 \cdot 1) = 64 + 75 + 72 + 49 = 260$

Теперь найдем среднее значение квадратов $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{260}{10} = 26$

Подставляем найденные значения в формулу для дисперсии:

$D_B = 26 - 5^2 = 26 - 25 = 1$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются значения выборки от их среднего.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: Выборочная дисперсия $D_B = 1$, выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B = 1$.

4.23. $x$ 2 4 5 7

$n_i$ 10 15 5 20

По данному дискретному вариационному ряду найдем основные статистические характеристики выборки.

Исходные данные:

Варианты ($x_i$): 2, 4, 5, 7

Частоты ($n_i$): 10, 15, 5, 20

а) Объем выборки

Объем выборки $n$ — это сумма всех частот. Он показывает общее количество наблюдений в выборке.

$n = \sum n_i = 10 + 15 + 5 + 20 = 50$

Ответ: Объем выборки равен 50.

б) Размах выборки

Размах выборки $R$ — это разность между максимальным и минимальным значениями вариант. Он показывает меру разброса данных.

$x_{max} = 7$

$x_{min} = 2$

$R = x_{max} - x_{min} = 7 - 2 = 5$

Ответ: Размах выборки равен 5.

в) Мода выборки

Мода ($Mo$) — это варианта, которая встречается в выборке чаще всего, то есть имеет наибольшую частоту. В данном ряду наибольшую частоту $n=20$ имеет варианта $x=7$.

Ответ: Мода выборки $Mo = 7$.

г) Медиана выборки

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию вариационный ряд на две равные по численности части. Так как объем выборки $n=50$ — четное число, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений, стоящих на местах с номерами $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

Номера центральных элементов: $\frac{50}{2} = 25$ и $\frac{50}{2} + 1 = 26$.

Для нахождения этих элементов определим накопленные частоты:

• Значение 2 (частота 10) занимает места с 1-го по 10-е.
• Значение 4 (частота 15) занимает места с 11-го по 25-е (накопленная частота $10+15=25$).
• Значение 5 (частота 5) занимает места с 26-го по 30-е (накопленная частота $25+5=30$).
• Значение 7 (частота 20) занимает места с 31-го по 50-е (накопленная частота $30+20=50$).

Таким образом, на 25-м месте стоит значение 4 ($x_{25}=4$), а на 26-м месте — значение 5 ($x_{26}=5$).

Найдем медиану:

$Me = \frac{x_{25} + x_{26}}{2} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$

Ответ: Медиана выборки $Me = 4.5$.

д) Выборочное среднее

Выборочное среднее (среднее арифметическое) $\bar{x}$ вычисляется по формуле для взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$

Вычислим сумму произведений вариант на их частоты:

$\sum x_i n_i = (2 \cdot 10) + (4 \cdot 15) + (5 \cdot 5) + (7 \cdot 20) = 20 + 60 + 25 + 140 = 245$

Теперь найдем выборочное среднее:

$\bar{x} = \frac{245}{50} = 4.9$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x} = 4.9$.

е) Выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Выборочная дисперсия $D_B$ — это мера разброса данных относительно выборочного среднего. Она вычисляется по формуле:

$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$ или $D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n}$.

Воспользуемся второй формулой. Сначала найдем $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (2^2 \cdot 10) + (4^2 \cdot 15) + (5^2 \cdot 5) + (7^2 \cdot 20)$

$\sum x_i^2 n_i = (4 \cdot 10) + (16 \cdot 15) + (25 \cdot 5) + (49 \cdot 20) = 40 + 240 + 125 + 980 = 1385$

Теперь найдем средний квадрат $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{1385}{50} = 27.7$

Вычислим дисперсию:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 27.7 - (4.9)^2 = 27.7 - 24.01 = 3.69$

Выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B$ — это квадратный корень из выборочной дисперсии.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{3.69} \approx 1.921$

Ответ: Выборочная дисперсия $D_B = 3.69$, выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B \approx 1.921$.

4.24. x 15 20 25 30 35

$n_i$ 10 15 30 20 25

На основе предоставленной таблицы дискретного вариационного ряда, где $x$ — значения варианты, а $n_i$ — соответствующие им частоты, вычислим основные статистические характеристики выборки.

Данные таблицы:

• Значения $x_i$: 15, 20, 25, 30, 35
• Частоты $n_i$: 10, 15, 30, 20, 25

а) Найти объем выборки

Объем выборки $n$ — это сумма всех частот.
$n = \sum_{i=1}^{k} n_i$
$n = 10 + 15 + 30 + 20 + 25 = 100$
Ответ: $n = 100$.

б) Найти выборочное среднее

Выборочное среднее $\bar{x}$ вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
Найдем сумму произведений вариант на их частоты:
$\sum x_i n_i = (15 \times 10) + (20 \times 15) + (25 \times 30) + (30 \times 20) + (35 \times 25)$
$\sum x_i n_i = 150 + 300 + 750 + 600 + 875 = 2675$
Теперь вычислим выборочное среднее:
$\bar{x} = \frac{2675}{100} = 26.75$
Ответ: $\bar{x} = 26.75$.

в) Найти моду

Мода ($M_o$) — это значение варианты с наибольшей частотой.
Из таблицы видно, что наибольшая частота равна 30. Этому значению частоты соответствует варианта $x = 25$.
Ответ: $M_o = 25$.

г) Найти медиану

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные части.
Объем выборки $n = 100$ (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому элементов, стоящих на 50-м и 51-м местах.
Для нахождения этих элементов составим таблицу накопленных частот:
Для $x=15$: накопленная частота = 10.
Для $x=20$: накопленная частота = $10 + 15 = 25$.
Для $x=25$: накопленная частота = $25 + 30 = 55$.
Поскольку 50-й и 51-й элементы находятся в интервале накопленной частоты от 26 до 55, они оба равны соответствующей варианте $x=25$.
$M_e = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{25 + 25}{2} = 25$
Ответ: $M_e = 25$.

д) Найти выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия ($D_B$) вычисляется по формуле:
$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x})^2$
Сначала найдем $\sum x_i^2 n_i$:
$\sum x_i^2 n_i = (15^2 \times 10) + (20^2 \times 15) + (25^2 \times 30) + (30^2 \times 20) + (35^2 \times 25)$
$\sum x_i^2 n_i = (225 \times 10) + (400 \times 15) + (625 \times 30) + (900 \times 20) + (1225 \times 25)$
$\sum x_i^2 n_i = 2250 + 6000 + 18750 + 18000 + 30625 = 75625$
Теперь подставим значения в формулу дисперсии:
$D_B = \frac{75625}{100} - (26.75)^2 = 756.25 - 715.5625 = 40.6875$
Ответ: $D_B = 40.6875$.

е) Найти среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии.
$\sigma_B = \sqrt{D_B}$
$\sigma_B = \sqrt{40.6875} \approx 6.378675$
Округлим до двух знаков после запятой: $\sigma_B \approx 6.38$.
Ответ: $\sigma_B \approx 6.38$.

4.25. $x$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10

$n_i$ | 0,15 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,45

В задаче дан закон распределения дискретной случайной величины $X$. Значения $x_i$, которые принимает случайная величина, и соответствующие им относительные частоты $n_i$ (которые в данном случае являются вероятностями $p_i$, так как их сумма равна 1) представлены в таблице:

$\sum p_i = 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,45 = 1,0$.

Поскольку вопрос в задаче не указан, мы найдем основные числовые характеристики данного распределения: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

а) Найти математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ (или выборочное среднее) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i p_i$
Подставим значения из таблицы:
$M(X) = (2 \cdot 0,15) + (4 \cdot 0,2) + (6 \cdot 0,1) + (8 \cdot 0,1) + (10 \cdot 0,45)$
$M(X) = 0,3 + 0,8 + 0,6 + 0,8 + 4,5$
$M(X) = 7,0$
Ответ: $M(X) = 7,0$.

б) Найти дисперсию

Дисперсия $D(X)$ характеризует меру разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется по одной из формул:
$D(X) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - M(X))^2 p_i$ или $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Воспользуемся второй формулой, так как она часто удобнее для вычислений. Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 p_i$
$M(X^2) = (2^2 \cdot 0,15) + (4^2 \cdot 0,2) + (6^2 \cdot 0,1) + (8^2 \cdot 0,1) + (10^2 \cdot 0,45)$
$M(X^2) = (4 \cdot 0,15) + (16 \cdot 0,2) + (36 \cdot 0,1) + (64 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,45)$
$M(X^2) = 0,6 + 3,2 + 3,6 + 6,4 + 45,0$
$M(X^2) = 58,8$
Теперь вычислим дисперсию, используя найденные значения $M(X) = 7,0$ и $M(X^2) = 58,8$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 58,8 - (7,0)^2 = 58,8 - 49 = 9,8$
Ответ: $D(X) = 9,8$.

в) Найти среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ (стандартное отклонение) — это наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины. Он равен квадратному корню из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
Подставим найденное значение дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{9,8}$
$\sigma(X) \approx 3,130495...$
Округлим результат до двух знаков после запятой:
$\sigma(X) \approx 3,13$
Ответ: $\sigma(X) \approx 3,13$.

4.26. x: 1, 3, 5, 7, 9

$n_i$: 0,15, 0,25, 0,3, 0,2, 0,1

В задаче 4.26 представлен закон распределения дискретной случайной величины $X$. Поскольку конкретный вопрос не указан, найдем основные числовые характеристики этой величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Данный ряд распределения:

Проверим, что сумма относительных частот (вероятностей) равна 1:

$$ \sum n_i = 0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1 $$

Условие нормировки выполняется, следовательно, это корректный закон распределения.

а) Нахождение математического ожидания M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$$ M(X) = \sum_{i} x_i p_i $$

где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности (в данном случае, относительные частоты $n_i$).

Подставим значения из таблицы:

$$ M(X) = (1 \cdot 0,15) + (3 \cdot 0,25) + (5 \cdot 0,3) + (7 \cdot 0,2) + (9 \cdot 0,1) $$

$$ M(X) = 0,15 + 0,75 + 1,50 + 1,40 + 0,90 $$

$$ M(X) = 4,7 $$

Ответ: Математическое ожидание $M(X) = 4,7$.

б) Нахождение дисперсии D(X)

Дисперсия характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Она вычисляется по формуле:

$$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$$ M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i $$

$$ M(X^2) = (1^2 \cdot 0,15) + (3^2 \cdot 0,25) + (5^2 \cdot 0,3) + (7^2 \cdot 0,2) + (9^2 \cdot 0,1) $$

$$ M(X^2) = (1 \cdot 0,15) + (9 \cdot 0,25) + (25 \cdot 0,3) + (49 \cdot 0,2) + (81 \cdot 0,1) $$

$$ M(X^2) = 0,15 + 2,25 + 7,5 + 9,8 + 8,1 $$

$$ M(X^2) = 27,8 $$

Теперь, зная $M(X^2)$ и $M(X)$, можем вычислить дисперсию:

$$ D(X) = 27,8 - (4,7)^2 = 27,8 - 22,09 = 5,71 $$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 5,71$.

в) Нахождение среднего квадратического отклонения σ(X)

Среднее квадратическое отклонение является еще одной мерой разброса и равно квадратному корню из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

$$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $$

Подставим найденное значение дисперсии:

$$ \sigma(X) = \sqrt{5,71} \approx 2,38956 $$

Округлим результат до двух знаков после запятой:

$$ \sigma(X) \approx 2,39 $$

Ответ: Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) \approx 2,39$.

В упражнениях 4.27–4.34 обработайте данные по программе Excel и постройте полигон частот, $x_{max}$, $x_{min}$ и размах выборки.

42 42 41 49 42

41 49 42 41 42

45 42 42 41 49

40 45 41 44 44

41 45 42 43 43

Для выполнения задания сначала обработаем предоставленные данные. Составим вариационный ряд, расположив все значения выборки в порядке их возрастания. Общий объем выборки $n = 25$.

Исходная выборка: 42, 42, 41, 49, 42, 41, 49, 42, 41, 42, 45, 42, 42, 41, 49, 40, 45, 41, 44, 44, 41, 45, 42, 43, 43.

Вариационный ряд (упорядоченные данные):

40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 49, 49, 49.

На основе этих данных выполним требуемые расчеты и построения.

Для построения полигона частот необходимо составить таблицу частот (статистический ряд). В этой таблице для каждого уникального значения (варианты $x_i$) указывается, сколько раз оно встречается в выборке (частота $n_i$). Для более точного визуального представления полигона включим в таблицу все целые значения от минимального до максимального, присвоив частоту 0 тем значениям, которые отсутствуют в выборке.

Таблица распределения частот:

Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами $(x_i, n_i)$. Для построения полигона в Excel или на бумаге нужно нанести на координатную плоскость точки (40, 1), (41, 6), (42, 8), (43, 2), (44, 2), (45, 3), (46, 0), (47, 0), (48, 0), (49, 3) и последовательно соединить их отрезками. По оси абсцисс откладываются варианты, по оси ординат — частоты.

Ответ: Построение полигона частот осуществляется на основе представленной таблицы распределения частот.

Максимальное значение в выборке, или $x_{max}$, — это наибольшее из всех значений, присутствующих в данных.

Анализируя вариационный ряд, мы видим, что самое большое значение — 49. В программе Excel для его нахождения используется функция =МАКС(диапазон_ячеек).

Ответ: $x_{max} = 49$.

Минимальное значение в выборке, или $x_{min}$, — это наименьшее из всех значений, присутствующих в данных.

Из вариационного ряда видно, что самое маленькое значение — 40. В программе Excel для его нахождения используется функция =МИН(диапазон_ячеек).

Ответ: $x_{min} = 40$.

Размах выборки (R) — это статистический показатель, равный разности между максимальным и минимальным значениями выборки.

Формула для вычисления размаха: $R = x_{max} - x_{min}$.

Подставим найденные значения $x_{max}$ и $x_{min}$:

$R = 49 - 40 = 9$

Ответ: Размах выборки равен 9.

4.28. 55 56 56 58 57

59 57 58 56 58

58 56 59 57 59

57 55 56 59 57

56 58 56 59 59

Для решения задачи на основе представленного набора данных проведем полный статистический анализ. Он будет включать в себя построение вариационного ряда и таблицы частот, расчет мер центральной тенденции (среднее арифметическое, мода, медиана) и мер разброса (размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Исходный набор данных состоит из $n=25$ элементов:

55, 56, 56, 58, 57, 59, 57, 58, 56, 58, 58, 56, 59, 57, 59, 57, 55, 56, 59, 57, 56, 58, 56, 59, 59.

а) Построение вариационного ряда и таблицы частот

Первым шагом упорядочим все значения выборки по возрастанию, чтобы получить вариационный ряд. Далее, для каждого уникального значения (варианты $x_i$) подсчитаем его частоту ($n_i$) и относительную частоту ($W_i = n_i / n$).

Подсчитаем частоты для каждой варианты: значение 55 встречается 2 раза, 56 — 7 раз, 57 — 5 раз, 58 — 5 раз, 59 — 6 раз. Сумма частот: $2 + 7 + 5 + 5 + 6 = 25$, что соответствует общему объему выборки.

Вариационный (упорядоченный) ряд выглядит следующим образом:
55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

Составим статистическую таблицу распределения частот:

Ответ: Вариационный ряд и таблица частот построены и представлены выше.

б) Расчет мер центральной тенденции

Найдем основные меры центральной тенденции: среднее арифметическое, моду и медиану.

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для сгруппированных данных: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
$\sum x_i n_i = (55 \cdot 2) + (56 \cdot 7) + (57 \cdot 5) + (58 \cdot 5) + (59 \cdot 6) = 110 + 392 + 285 + 290 + 354 = 1431$
$\bar{x} = \frac{1431}{25} = 57.24$

Мода ($M_o$) — это варианта с наибольшей частотой. Из таблицы частот видно, что варианта 56 имеет наибольшую частоту ($n=7$). Следовательно, $M_o = 56$.

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Поскольку объем выборки $n=25$ (нечетное число), медиана является элементом с порядковым номером $\frac{n+1}{2} = \frac{25+1}{2} = 13$. В нашем вариационном ряду первые два элемента — 55, следующие семь (с 3-го по 9-й) — 56. Значит, элементы с 10-го по 14-й равны 57. Таким образом, 13-й элемент ряда равен 57. Следовательно, $M_e = 57$.

Ответ: Среднее арифметическое $\bar{x} = 57.24$, мода $M_o = 56$, медиана $M_e = 57$.

в) Расчет мер разброса

Вычислим показатели вариации данных: размах, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Размах ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. $R = x_{max} - x_{min} = 59 - 55 = 4$

Выборочная дисперсия ($D$) — это средний квадрат отклонений вариант от их среднего значения. Формула для расчета: $D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$
Используя ранее найденное среднее $\bar{x} = 57.24$, вычислим сумму квадратов отклонений: $\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i = (55 - 57.24)^2 \cdot 2 + (56 - 57.24)^2 \cdot 7 + (57 - 57.24)^2 \cdot 5 + (58 - 57.24)^2 \cdot 5 + (59 - 57.24)^2 \cdot 6$
$= (-2.24)^2 \cdot 2 + (-1.24)^2 \cdot 7 + (-0.24)^2 \cdot 5 + (0.76)^2 \cdot 5 + (1.76)^2 \cdot 6$
$= (5.0176 \cdot 2) + (1.5376 \cdot 7) + (0.0576 \cdot 5) + (0.5776 \cdot 5) + (3.0976 \cdot 6)$
$= 10.0352 + 10.7632 + 0.2880 + 2.8880 + 18.5856 = 42.56$
$D = \frac{42.56}{25} = 1.7024$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) равно квадратному корню из дисперсии и показывает среднее отклонение данных от среднего значения. $\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{1.7024} \approx 1.3048$

Ответ: Размах выборки $R = 4$, дисперсия $D = 1.7024$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 1.3048$.