Номер 4.26, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26. x: 1, 3, 5, 7, 9

$n_i$: 0,15, 0,25, 0,3, 0,2, 0,1

В задаче 4.26 представлен закон распределения дискретной случайной величины $X$. Поскольку конкретный вопрос не указан, найдем основные числовые характеристики этой величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Данный ряд распределения:

Проверим, что сумма относительных частот (вероятностей) равна 1:

$$ \sum n_i = 0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1 $$

Условие нормировки выполняется, следовательно, это корректный закон распределения.

а) Нахождение математического ожидания M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$$ M(X) = \sum_{i} x_i p_i $$

где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности (в данном случае, относительные частоты $n_i$).

Подставим значения из таблицы:

$$ M(X) = (1 \cdot 0,15) + (3 \cdot 0,25) + (5 \cdot 0,3) + (7 \cdot 0,2) + (9 \cdot 0,1) $$

$$ M(X) = 0,15 + 0,75 + 1,50 + 1,40 + 0,90 $$

$$ M(X) = 4,7 $$

Ответ: Математическое ожидание $M(X) = 4,7$.

б) Нахождение дисперсии D(X)

Дисперсия характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Она вычисляется по формуле:

$$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$$ M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i $$

$$ M(X^2) = (1^2 \cdot 0,15) + (3^2 \cdot 0,25) + (5^2 \cdot 0,3) + (7^2 \cdot 0,2) + (9^2 \cdot 0,1) $$

$$ M(X^2) = (1 \cdot 0,15) + (9 \cdot 0,25) + (25 \cdot 0,3) + (49 \cdot 0,2) + (81 \cdot 0,1) $$

$$ M(X^2) = 0,15 + 2,25 + 7,5 + 9,8 + 8,1 $$

$$ M(X^2) = 27,8 $$

Теперь, зная $M(X^2)$ и $M(X)$, можем вычислить дисперсию:

$$ D(X) = 27,8 - (4,7)^2 = 27,8 - 22,09 = 5,71 $$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 5,71$.

в) Нахождение среднего квадратического отклонения σ(X)

Среднее квадратическое отклонение является еще одной мерой разброса и равно квадратному корню из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

$$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $$

Подставим найденное значение дисперсии:

$$ \sigma(X) = \sqrt{5,71} \approx 2,38956 $$

Округлим результат до двух знаков после запятой:

$$ \sigma(X) \approx 2,39 $$

Ответ: Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) \approx 2,39$.