Номер 4.29, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Полигон частот и относительных частот. Раздел 4. Элементы статистики - номер 4.29, страница 130.

Условие (рус).

4.29. 45 56 66 42 61 53 62 71 49 62

59 53 57 46 57 71 49 61 51 72

53 46 59 53 59 43 62 52 51 69

51 65 56 39 57 60 59 51 59 69

56 57 44 59 51 51 48 62 53 67

48 62 51 51 59 56 57 46 57 59

51 61 47 56 48 64 51 58 62 66

51 56 59 42 56 57 51 48 61 62

59 48 63 49 53 64 59 63 51 67

56 50 58 53 46 65 49 59 56 58

Условие (КЗ).

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи проанализируем предоставленную выборку из 100 числовых значений. Объем выборки $n = 100$.

а) Построение интервального ряда распределения

1. Найдем минимальное и максимальное значения в выборке, чтобы определить размах варьирования.
$x_{min} = 39$
$x_{max} = 72$
Размах варьирования: $R = x_{max} - x_{min} = 72 - 39 = 33$.

2. Определим количество интервалов $k$ по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$
Округлим до ближайшего целого, примем $k=7$.

3. Найдем ширину интервала $h$:
$h = \frac{R}{k} = \frac{33}{7} \approx 4.71$
Для удобства выберем ширину интервала $h=5$.

4. Определим границы интервалов. Начало первого интервала выберем так, чтобы $x_{min}$ попал в него. Пусть первый интервал начинается с 38. Тогда границы интервалов будут: [38; 43), [43; 48), [48; 53), [53; 58), [58; 63), [63; 68), [68; 73).

5. Подсчитаем частоты $n_i$ (количество значений, попавших в каждый интервал) и составим таблицу интервального ряда распределения.

№	Интервал $[x_i, x_{i+1})$	Середина интервала $x'_i$	Частота $n_i$	Отн. частота $w_i = n_i/n$	Плотность частоты $n_i/h$	Накопленная частота
1	[38, 43)	40.5	3	0.03	0.6	3
2	[43, 48)	45.5	8	0.08	1.6	11
3	[48, 53)	50.5	22	0.22	4.4	33
4	[53, 58)	55.5	24	0.24	4.8	57
5	[58, 63)	60.5	27	0.27	5.4	84
6	[63, 68)	65.5	10	0.10	2.0	94
7	[68, 73)	70.5	6	0.06	1.2	100
Сумма			100	1.00	-	-

Ответ: Интервальный ряд распределения построен и представлен в виде таблицы с указанием интервалов, их середин, абсолютных и относительных частот, плотности частоты и накопленных частот.

б) Графическое представление данных

На основе таблицы интервального ряда можно построить гистограмму и полигон частот.

Гистограмма частот:
Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы значений, а по оси ординат — плотности частот ($n_i/h$). Для каждого интервала строится прямоугольник, основанием которого служит длина интервала $h$, а высотой — соответствующая плотность частоты.

• Интервал [38, 43): высота 0.6
• Интервал [43, 48): высота 1.6
• Интервал [48, 53): высота 4.4
• Интервал [53, 58): высота 4.8
• Интервал [58, 63): высота 5.4
• Интервал [63, 68): высота 2.0
• Интервал [68, 73): высота 1.2

Площадь гистограммы равна сумме площадей всех прямоугольников: $S = \sum h \cdot (n_i/h) = \sum n_i = n = 100$.

Полигон частот:
Для построения полигона по оси абсцисс откладываются середины интервалов $x'_i$, а по оси ординат — соответствующие частоты $n_i$. Точки с координатами $(x'_i; n_i)$ соединяются отрезками прямых.
Координаты точек для полигона: (40.5; 3), (45.5; 8), (50.5; 22), (55.5; 24), (60.5; 27), (65.5; 10), (70.5; 6).

Ответ: Дано описание построения гистограммы и полигона частот с указанием всех необходимых данных для их построения.

в) Расчет основных статистических характеристик

Расчеты будем производить по исходным (негруппированным) данным для большей точности.

1. Выборочное среднее ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
Сумма всех значений выборки: $\sum x_i = 5621$.
$\bar{x} = \frac{5621}{100} = 56.21$.

2. Мода ($M_o$):
Мода — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. Из анализа исходных данных, значение 59 встречается 12 раз, что является наибольшей частотой.
$M_o = 59$.

3. Медиана ($M_e$):
Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, т.е. 50-го и 51-го.
Проанализировав упорядоченный ряд, находим, что 50-й и 51-й элементы равны 57.
$M_e = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{57 + 57}{2} = 57$.

4. Выборочная дисперсия ($s^2$) и стандартное отклонение ($s$):
Выборочная (несмещенная) дисперсия вычисляется по формуле:
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2 \right)$
Сумма квадратов значений: $\sum x_i^2 = 324483$.
$s^2 = \frac{1}{100-1} \left( 324483 - 100 \cdot (56.21)^2 \right) = \frac{1}{99} (324483 - 315956.41) = \frac{8526.59}{99} \approx 86.13$
Выборочное стандартное отклонение:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{86.13} \approx 9.28$.

Ответ:
- Выборочное среднее: $\bar{x} = 56.21$
- Мода: $M_o = 59$
- Медиана: $M_e = 57$
- Выборочная дисперсия: $s^2 \approx 86.13$
- Выборочное стандартное отклонение: $s \approx 9.28$