Номер 4.24, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.24. x 15 20 25 30 35

$n_i$ 10 15 30 20 25

На основе предоставленной таблицы дискретного вариационного ряда, где $x$ — значения варианты, а $n_i$ — соответствующие им частоты, вычислим основные статистические характеристики выборки.

Данные таблицы:

• Значения $x_i$: 15, 20, 25, 30, 35
• Частоты $n_i$: 10, 15, 30, 20, 25

а) Найти объем выборки

Объем выборки $n$ — это сумма всех частот.
$n = \sum_{i=1}^{k} n_i$
$n = 10 + 15 + 30 + 20 + 25 = 100$
Ответ: $n = 100$.

б) Найти выборочное среднее

Выборочное среднее $\bar{x}$ вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
Найдем сумму произведений вариант на их частоты:
$\sum x_i n_i = (15 \times 10) + (20 \times 15) + (25 \times 30) + (30 \times 20) + (35 \times 25)$
$\sum x_i n_i = 150 + 300 + 750 + 600 + 875 = 2675$
Теперь вычислим выборочное среднее:
$\bar{x} = \frac{2675}{100} = 26.75$
Ответ: $\bar{x} = 26.75$.

в) Найти моду

Мода ($M_o$) — это значение варианты с наибольшей частотой.
Из таблицы видно, что наибольшая частота равна 30. Этому значению частоты соответствует варианта $x = 25$.
Ответ: $M_o = 25$.

г) Найти медиану

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные части.
Объем выборки $n = 100$ (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому элементов, стоящих на 50-м и 51-м местах.
Для нахождения этих элементов составим таблицу накопленных частот:
Для $x=15$: накопленная частота = 10.
Для $x=20$: накопленная частота = $10 + 15 = 25$.
Для $x=25$: накопленная частота = $25 + 30 = 55$.
Поскольку 50-й и 51-й элементы находятся в интервале накопленной частоты от 26 до 55, они оба равны соответствующей варианте $x=25$.
$M_e = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{25 + 25}{2} = 25$
Ответ: $M_e = 25$.

д) Найти выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия ($D_B$) вычисляется по формуле:
$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x})^2$
Сначала найдем $\sum x_i^2 n_i$:
$\sum x_i^2 n_i = (15^2 \times 10) + (20^2 \times 15) + (25^2 \times 30) + (30^2 \times 20) + (35^2 \times 25)$
$\sum x_i^2 n_i = (225 \times 10) + (400 \times 15) + (625 \times 30) + (900 \times 20) + (1225 \times 25)$
$\sum x_i^2 n_i = 2250 + 6000 + 18750 + 18000 + 30625 = 75625$
Теперь подставим значения в формулу дисперсии:
$D_B = \frac{75625}{100} - (26.75)^2 = 756.25 - 715.5625 = 40.6875$
Ответ: $D_B = 40.6875$.

е) Найти среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии.
$\sigma_B = \sqrt{D_B}$
$\sigma_B = \sqrt{40.6875} \approx 6.378675$
Округлим до двух знаков после запятой: $\sigma_B \approx 6.38$.
Ответ: $\sigma_B \approx 6.38$.