Номер 4.21, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21.

Данная таблица представляет собой дискретный вариационный ряд. В верхней строке $x$ указаны варианты (значения) выборки, а в нижней $n_i$ — соответствующие им частоты, то есть количество раз, которое данное значение встречается в выборке. Для этого ряда найдем основные статистические характеристики.

а) Объем выборки

Объем выборки $N$ — это сумма всех частот. Он показывает общее количество элементов в выборке.

$N = \sum n_i = 1 + 3 + 4 + 2 = 10$.

Ответ: 10

б) Мода выборки

Мода ($Mo$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Для нахождения моды необходимо найти вариант с наибольшей частотой.

Из таблицы видно, что наибольшая частота равна 4, и она соответствует значению $x = 7$.

Ответ: 7

в) Медиана выборки

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную по возрастанию выборку на две равные по количеству элементов части.

Сначала представим выборку в виде упорядоченного ряда, повторив каждое значение соответствующее его частоте число раз:
2, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9, 9.

Объем выборки $N = 10$ — четное число. В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов в упорядоченном ряду: $N/2 = 10/2 = 5$ и $N/2 + 1 = 6$.

Пятый элемент выборки равен 7, шестой элемент также равен 7.

$Me = \frac{7 + 7}{2} = 7$.

Ответ: 7

г) Среднее арифметическое выборки

Среднее арифметическое (или выборочное среднее) $\bar{x}$ для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{N} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3 + x_4 n_4}{N}$

Подставим значения из таблицы:

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 9 \cdot 2}{10} = \frac{2 + 15 + 28 + 18}{10} = \frac{63}{10} = 6.3$.

Ответ: 6.3

д) Размах выборки

Размах ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.

$x_{max} = 9$
$x_{min} = 2$

$R = x_{max} - x_{min} = 9 - 2 = 7$.

Ответ: 7

е) Дисперсия выборки

Дисперсия ($D_B$) характеризует меру разброса данных вокруг среднего значения. Она вычисляется по формуле:

$D_B = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N}$

Мы уже нашли, что $\bar{x} = 6.3$ и $N=10$. Рассчитаем сумму квадратов отклонений:

$\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i = (2 - 6.3)^2 \cdot 1 + (5 - 6.3)^2 \cdot 3 + (7 - 6.3)^2 \cdot 4 + (9 - 6.3)^2 \cdot 2$

$= (-4.3)^2 \cdot 1 + (-1.3)^2 \cdot 3 + (0.7)^2 \cdot 4 + (2.7)^2 \cdot 2$

$= 18.49 \cdot 1 + 1.69 \cdot 3 + 0.49 \cdot 4 + 7.29 \cdot 2$

$= 18.49 + 5.07 + 1.96 + 14.58 = 40.1$

Теперь найдем дисперсию:

$D_B = \frac{40.1}{10} = 4.01$.

Ответ: 4.01

ж) Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения выборки отклоняются от среднего арифметического.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{4.01} \approx 2.0025$.

Округлим результат до сотых.

Ответ: $\sqrt{4.01} \approx 2.00$