Номер 4.28, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.28. 55 56 56 58 57

59 57 58 56 58

58 56 59 57 59

57 55 56 59 57

56 58 56 59 59

Для решения задачи на основе представленного набора данных проведем полный статистический анализ. Он будет включать в себя построение вариационного ряда и таблицы частот, расчет мер центральной тенденции (среднее арифметическое, мода, медиана) и мер разброса (размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Исходный набор данных состоит из $n=25$ элементов:

55, 56, 56, 58, 57, 59, 57, 58, 56, 58, 58, 56, 59, 57, 59, 57, 55, 56, 59, 57, 56, 58, 56, 59, 59.

а) Построение вариационного ряда и таблицы частот

Первым шагом упорядочим все значения выборки по возрастанию, чтобы получить вариационный ряд. Далее, для каждого уникального значения (варианты $x_i$) подсчитаем его частоту ($n_i$) и относительную частоту ($W_i = n_i / n$).

Подсчитаем частоты для каждой варианты: значение 55 встречается 2 раза, 56 — 7 раз, 57 — 5 раз, 58 — 5 раз, 59 — 6 раз. Сумма частот: $2 + 7 + 5 + 5 + 6 = 25$, что соответствует общему объему выборки.

Вариационный (упорядоченный) ряд выглядит следующим образом:
55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

Составим статистическую таблицу распределения частот:

Ответ: Вариационный ряд и таблица частот построены и представлены выше.

б) Расчет мер центральной тенденции

Найдем основные меры центральной тенденции: среднее арифметическое, моду и медиану.

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для сгруппированных данных: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
$\sum x_i n_i = (55 \cdot 2) + (56 \cdot 7) + (57 \cdot 5) + (58 \cdot 5) + (59 \cdot 6) = 110 + 392 + 285 + 290 + 354 = 1431$
$\bar{x} = \frac{1431}{25} = 57.24$

Мода ($M_o$) — это варианта с наибольшей частотой. Из таблицы частот видно, что варианта 56 имеет наибольшую частоту ($n=7$). Следовательно, $M_o = 56$.

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Поскольку объем выборки $n=25$ (нечетное число), медиана является элементом с порядковым номером $\frac{n+1}{2} = \frac{25+1}{2} = 13$. В нашем вариационном ряду первые два элемента — 55, следующие семь (с 3-го по 9-й) — 56. Значит, элементы с 10-го по 14-й равны 57. Таким образом, 13-й элемент ряда равен 57. Следовательно, $M_e = 57$.

Ответ: Среднее арифметическое $\bar{x} = 57.24$, мода $M_o = 56$, медиана $M_e = 57$.

в) Расчет мер разброса

Вычислим показатели вариации данных: размах, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Размах ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. $R = x_{max} - x_{min} = 59 - 55 = 4$

Выборочная дисперсия ($D$) — это средний квадрат отклонений вариант от их среднего значения. Формула для расчета: $D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$
Используя ранее найденное среднее $\bar{x} = 57.24$, вычислим сумму квадратов отклонений: $\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i = (55 - 57.24)^2 \cdot 2 + (56 - 57.24)^2 \cdot 7 + (57 - 57.24)^2 \cdot 5 + (58 - 57.24)^2 \cdot 5 + (59 - 57.24)^2 \cdot 6$
$= (-2.24)^2 \cdot 2 + (-1.24)^2 \cdot 7 + (-0.24)^2 \cdot 5 + (0.76)^2 \cdot 5 + (1.76)^2 \cdot 6$
$= (5.0176 \cdot 2) + (1.5376 \cdot 7) + (0.0576 \cdot 5) + (0.5776 \cdot 5) + (3.0976 \cdot 6)$
$= 10.0352 + 10.7632 + 0.2880 + 2.8880 + 18.5856 = 42.56$
$D = \frac{42.56}{25} = 1.7024$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) равно квадратному корню из дисперсии и показывает среднее отклонение данных от среднего значения. $\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{1.7024} \approx 1.3048$

Ответ: Размах выборки $R = 4$, дисперсия $D = 1.7024$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 1.3048$.