Номер 4.31, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. 30 52 72 25 62 45 65 82 39 56

58 45 55 32 55 82 38 63 43 84

46 32 58 45 58 26 65 45 62 78

42 70 52 38 55 60 58 43 58 69

52 55 28 58 43 42 35 64 46 75

35 64 43 42 58 52 55 32 55 59

43 62 34 52 37 68 42 56 65 72

42 52 58 25 52 55 43 35 62 65

58 36 66 38 46 68 58 64 43 74

52 41 45 47 32 69 39 58 52 56

Для решения задачи сначала проанализируем предоставленную выборку. Объем выборки $n=100$. Минимальное значение в выборке $x_{min}=25$, максимальное значение $x_{max}=84$.

а) Построение интервального вариационного ряда

Для построения интервального ряда определим количество интервалов $k$ по формуле Стерджеса:

$k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n) = 1 + 3.322 \cdot \lg(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$

Примем число интервалов $k=8$.

Определим ширину интервала $h$:

$h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k} = \frac{84 - 25}{8} = \frac{59}{8} = 7.375$

Округлим ширину интервала до $h=8$. За начало первого интервала примем $x_{min}=25$.

Подсчитав количество элементов выборки ($n_i$), попадающих в каждый интервал, и вычислив относительные частоты ($w_i = n_i/n$), середины интервалов ($x'_i$), а также накопленные частоты, составим таблицу интервального вариационного ряда.

Ответ: Интервальный вариационный ряд представлен в таблице выше.

б) Построение гистограммы относительных частот

Гистограмма относительных частот строится в виде ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников. Основаниями прямоугольников служат интервалы длиной $h=8$, а высоты равны плотности относительной частоты $w_i/h$.

Вычислим высоты прямоугольников:

• Интервал [25, 33): высота = $0.09 / 8 = 0.01125$
• Интервал [33, 41): высота = $0.11 / 8 = 0.01375$
• Интервал [41, 49): высота = $0.21 / 8 = 0.02625$
• Интервал [49, 57): высота = $0.20 / 8 = 0.02500$
• Интервал [57, 65): высота = $0.21 / 8 = 0.02625$
• Интервал [65, 73): высота = $0.12 / 8 = 0.01500$
• Интервал [73, 81): высота = $0.03 / 8 = 0.00375$
• Интервал [81, 89): высота = $0.03 / 8 = 0.00375$

По этим данным строится гистограмма, где по оси Ox откладываются интервалы, а по оси Oy – вычисленные высоты (плотности относительных частот).
Ответ: Гистограмма строится на основе вычисленных высот прямоугольников для каждого интервала.

в) Вычисление выборочных числовых характеристик

Для большей точности вычислим выборочное среднее и дисперсию по исходным данным, а не по сгруппированным.

Сумма всех элементов выборки: $\sum_{i=1}^{100} x_i = 5289$.

1. Выборочное среднее ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} x_i = \frac{5289}{100} = 52.89$

2. Выборочная дисперсия ($D_B$):

Сначала найдем сумму квадратов элементов: $\sum_{i=1}^{100} x_i^2 = 300107$.

$D_B = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} x_i^2 \right) - (\bar{x})^2 = \frac{300107}{100} - (52.89)^2 = 3001.07 - 2797.3521 = 203.7179$

3. Исправленная выборочная дисперсия ($s^2$):

$s^2 = \frac{n}{n-1} D_B = \frac{100}{99} \cdot 203.7179 \approx 205.7757$

4. Исправленное среднее квадратическое отклонение ($s$):

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{205.7757} \approx 14.3452$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x}=52.89$, выборочная дисперсия $D_B \approx 203.72$, исправленная выборочная дисперсия $s^2 \approx 205.78$.

г) Построение доверительного интервала для математического ожидания

Построим доверительный интервал для генерального среднего (математического ожидания) $a$ с доверительной вероятностью $\gamma = 0.95$. Так как объем выборки $n=100$ большой, а генеральная дисперсия неизвестна, воспользуемся формулой:

$\bar{x} - t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} < a < \bar{x} + t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}}$

Здесь $\bar{x}=52.89$, $s \approx 14.345$, $n=100$.

Значение $t_{\gamma}$ находим из условия $2\Phi(t_{\gamma})=\gamma$, где $\Phi(t)$ - функция Лапласа.$2\Phi(t_{0.95}) = 0.95 \implies \Phi(t_{0.95}) = 0.475$.По таблице значений функции Лапласа находим $t_{0.95} \approx 1.96$.

Вычислим точность оценки $\delta$:

$\delta = t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{14.345}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot 1.4345 \approx 2.8116$

Теперь найдем границы доверительного интервала:

Нижняя граница: $52.89 - 2.8116 = 50.0784$

Верхняя граница: $52.89 + 2.8116 = 55.7016$

Таким образом, доверительный интервал: $(50.08, 55.70)$.

Ответ: С надежностью 95% можно утверждать, что математическое ожидание генеральной совокупности находится в интервале $(50.08, 55.70)$.