Номер 4.30, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. 268 273 242 222 236 248 252 232 269 287

253 286 275 235 202 239 225 236 237 224

258 268 277 249 248 263 243 266 212 255

249 288 213 264 247 242 228 277 256 251

267 232 258 246 278 279 257 255 243 268

258 262 267 275 266 246 252 261 269 262

254 244 265 274 252 265 222 269 254 278

249 246 253 296 249 242 258 258 254 245

251 252 249 232 269 263 269 271 245 249

268 286 277 264 278 246 222 258 245 287

Для анализа представленной выборки из $n=100$ наблюдений выполним следующие шаги: построим вариационный и интервальный ряды, рассчитаем основные выборочные характеристики и найдем доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности.

а) Построение вариационного и интервального рядов распределения

1. Вариационный ряд. Упорядочим все наблюдения по возрастанию, чтобы получить вариационный ряд.

Минимальное значение в выборке: $x_{min} = 202$.
Максимальное значение в выборке: $x_{max} = 296$.
Размах выборки: $R = x_{max} - x_{min} = 296 - 202 = 94$.

Полный вариационный ряд ($n=100$):
202, 212, 213, 222, 222, 222, 224, 225, 228, 232, 232, 232, 235, 236, 236, 237, 239, 242, 242, 242, 243, 243, 244, 245, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 247, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 254, 254, 254, 255, 255, 256, 257, 258, 258, 258, 258, 258, 258, 261, 262, 262, 263, 263, 264, 264, 265, 265, 266, 266, 267, 267, 268, 268, 268, 268, 269, 269, 269, 269, 269, 271, 273, 274, 275, 275, 277, 277, 277, 278, 278, 278, 279, 286, 286, 287, 287, 288, 296.

2. Интервальный ряд. Для построения интервального ряда определим количество интервалов $k$ по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$.
Округлим и выберем $k=8$ интервалов.
Найдем ширину интервала $h$:
$h = \frac{R}{k} = \frac{94}{8} = 11.75$. Округлим до $h=12$ для удобства.
Начало первого интервала выберем равным $x_{start} = x_{min} - \frac{h \cdot k - R}{2} = 202 - \frac{12 \cdot 8 - 94}{2} = 202 - 1 = 201$.
Теперь составим таблицу интервального распределения, подсчитав частоты ($n_i$ - количество значений в интервале), относительные частоты ($w_i = n_i/n$) и накопленные частоты.

На основе этой таблицы можно построить гистограмму и полигон частот.

Ответ: Вариационный и интервальный ряды построены и представлены выше.

б) Расчет основных выборочных характеристик

1. Выборочное среднее ($\bar{x}$). Рассчитывается как среднее арифметическое всех значений выборки.
Сумма всех значений: $\sum_{i=1}^{100} x_i = 25474$.
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{25474}{100} = 254.74$.

2. Выборочная медиана ($Me$). Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов вариационного ряда (50-го и 51-го).
$x_{50} = 254$, $x_{51} = 255$.
$Me = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{254 + 255}{2} = 254.5$.

3. Выборочная мода ($Mo$). Это значение, которое встречается в выборке чаще всего. В данной выборке два значения имеют максимальную частоту (6 раз): 249 и 258. Следовательно, распределение является бимодальным.
$Mo_1 = 249$, $Mo_2 = 258$.

4. Выборочная дисперсия ($s^2$) и среднее квадратическое отклонение ($s$). Используем несмещенную оценку дисперсии.
Сумма квадратов значений: $\sum_{i=1}^{100} x_i^2 = 6520334$.
$s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2 \right) = \frac{1}{99} \left( 6520334 - 100 \cdot (254.74)^2 \right) = \frac{1}{99} (6520334 - 6489246.76) = \frac{31087.24}{99} \approx 314.01$.
Выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение):
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{314.01} \approx 17.72$.

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x} = 254.74$; медиана $Me = 254.5$; мода $Mo_1 = 249, Mo_2 = 258$; дисперсия $s^2 \approx 314.01$; среднее квадратическое отклонение $s \approx 17.72$.

в) Построение доверительного интервала для математического ожидания

Найдем 95%-й доверительный интервал для математического ожидания (среднего) $\mu$ генеральной совокупности. Так как объем выборки $n=100$ велик, а дисперсия генеральной совокупности неизвестна, мы можем использовать Z-распределение (или t-распределение, которое при $n-1=99$ степенях свободы практически совпадает с нормальным).

Формула доверительного интервала: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$.
Уровень доверия $\gamma = 0.95$, следовательно, уровень значимости $\alpha = 0.05$.
Квантиль нормального распределения $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$.
Рассчитаем предельную ошибку выборки $E$:
$E = z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{17.72}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot 1.772 \approx 3.47$.

Теперь определим границы интервала:
Нижняя граница: $\bar{x} - E = 254.74 - 3.47 = 251.27$.
Верхняя граница: $\bar{x} + E = 254.74 + 3.47 = 258.21$.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное среднее значение генеральной совокупности $\mu$ находится в пределах от 251.27 до 258.21.

Ответ: 95%-й доверительный интервал для математического ожидания: $(251.27; 258.21)$.