Номер 4.33, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. 169 154 143 155 113 155 171 168 153 136

145 168 122 163 117 165 132 159 107 125

146 152 142 132 152 161 148 136 138 149

151 157 178 149 195 145 166 182 135 136

163 169 165 148 151 153 139 166 138 128

168 157 143 179 165 159 149 141 102 169

179 177 162 149 146 113 151 152 143 157

163 169 155 152 175 177 131 154 174 182

145 153 162 142 173 174 168 153 185 168

168 167 141 148 152 158 152 155 184 181

Для решения задачи проанализируем предоставленную выборку данных. Объем выборки $n = 100$.

а) Вариационный и интервальный ряды распределения

Сначала составим вариационный ряд, для этого упорядочим все значения выборки по возрастанию.
Минимальное значение $x_{min} = 102$.
Максимальное значение $x_{max} = 195$.
Размах варьирования $R = x_{max} - x_{min} = 195 - 102 = 93$.

Далее построим интервальный ряд распределения. Количество интервалов $k$ определим по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$.
Выберем $k=8$ интервалов.

Длина каждого интервала $h$ будет равна:
$h = \frac{R}{k} = \frac{93}{8} = 11.625$. Округлим до $h=12$.

Составим таблицу интервального ряда распределения, указав границы интервалов, частоты ($n_i$ - количество значений в интервале) и относительные частоты ($w_i = n_i / n$).

Ответ: Вариационный ряд представляет собой упорядоченный набор из 100 числовых значений от 102 до 195. Интервальный ряд распределения представлен в таблице выше.

б) Графическое представление данных (гистограмма и полигон частот)

Гистограмма частот строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются интервалы значений. На каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна частоте попадания значений в этот интервал. Для корректного построения высота прямоугольника равна плотности частоты, т.е. $n_i / h$.

Полигон частот представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x_i', n_i)$, где $x_i'$ – середина i-го интервала, а $n_i$ – его частота.

Ответ: Гистограмма и полигон частот строятся на основе данных из таблиц интервального ряда. Гистограмма состоит из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, а высоты равны соответствующим плотностям частот. Полигон частот соединяет точки, соответствующие серединам интервалов и их частотам.

в) Числовые характеристики выборки

Вычислим основные числовые характеристики, используя исходные (несгруппированные) данные для большей точности.

1. Выборочное среднее (среднее арифметическое):
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{15286}{100} = 152.86$

2. Выборочная дисперсия:
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{99}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$
$\sum_{i=1}^{100}x_i^2 = 2368102$
$s^2 = \frac{1}{99}(2368102 - 100 \cdot (152.86)^2) = \frac{1}{99}(2368102 - 2336617.96) = \frac{31484.04}{99} \approx 318.02$

3. Выборочное среднее квадратическое отклонение:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{318.02} \approx 17.83$

4. Мода:
Мода – это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Проанализировав исходные данные, мы видим, что значения 152 и 168 встречаются по 6 раз каждое, что является максимальной частотой. Следовательно, выборка является бимодальной.
$Mo_1 = 152$, $Mo_2 = 168$

5. Медиана:
Медиана – это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 50-го и 51-го.
Из вариационного ряда находим: $x_{50} = 153$ и $x_{51} = 154$.
$Me = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{153 + 154}{2} = 153.5$

Ответ:
Выборочное среднее: $\bar{x} = 152.86$.
Выборочная дисперсия: $s^2 \approx 318.02$.
Среднее квадратическое отклонение: $s \approx 17.83$.
Мода: $Mo_1 = 152$, $Mo_2 = 168$.
Медиана: $Me = 153.5$.