Страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32. 45 56 66 43 61 52 62 71 49 62

59 52 58 46 58 71 49 62 51 72

53 46 59 52 59 46 62 52 61 69

51 65 56 49 57 60 59 51 59 64

56 58 44 59 51 51 47 62 53 67

47 62 51 51 59 56 57 56 57 59

51 56 59 42 56 57 51 47 61 62

59 48 63 49 53 64 59 63 51 67

56 56 52 59 46 64 49 59 56 58

46 51 58 48 49 61 51 47 58 71

Для выполнения задания проведем полный статистический анализ представленной выборки, состоящей из $n=100$ элементов.

а) Вариационный ряд и таблица частот

Первым шагом является упорядочивание данных и подсчет частот для каждого значения. Ранжированный ряд представляет собой последовательность всех элементов выборки, отсортированных по возрастанию. Поскольку полный ранжированный ряд из 100 элементов будет очень громоздким, представим его в виде таблицы частот, которая наглядно показывает, сколько раз каждое значение (варианта $x_i$) встречается в выборке (частота $n_i$).

Сначала найдем минимальное и максимальное значения в выборке:

$x_{min} = 42$

$x_{max} = 72$

Таблица дискретного распределения частот:

Проверка: сумма всех частот $\sum n_i = 1+1+1+1+5+4+2+6+12+5+3+10+4+6+13+1+4+7+2+3+1+1+2+1+3+1 = 100$, что соответствует объему выборки.

Ответ: Вариационный ряд представлен в виде таблицы распределения частот.

б) Интервальный ряд, относительные и накопленные частоты

Для построения интервального ряда определим количество интервалов $k$. Используем формулу Стерджеса:

$k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n) = 1 + 3.322 \cdot \lg(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$

Округлим до ближайшего целого, выберем $k=8$ интервалов.

Размах варьирования: $R = x_{max} - x_{min} = 72 - 42 = 30$.

Длина интервала: $h = \frac{R}{k} = \frac{30}{8} = 3.75$. Округлим до удобного значения $h=4$.

Новый, скорректированный размах $R' = k \cdot h = 8 \cdot 4 = 32$. Разницу $R' - R = 2$ распределим, сместив начало и конец диапазона на 1. Новый диапазон: от $42-1=41$ до $72+1=73$.

Составим таблицу интервального ряда, включив в нее середины интервалов ($x'_i$), частоты ($n_i$), относительные частоты ($w_i = n_i/n$), накопленные частоты и накопленные относительные частоты.

Ответ: Построен интервальный ряд распределения с 8 интервалами и шагом 4; рассчитаны относительные и накопленные частоты.

в) Построение полигона и гистограммы относительных частот

Гистограмма относительных частот строится следующим образом: по оси абсцисс откладываются интервалы значений, а по оси ординат — плотность относительной частоты ($w_i/h$) или сама относительная частота ($w_i$), если длина интервалов одинакова. Над каждым интервалом строится прямоугольник, высота которого пропорциональна (или равна) относительной частоте попадания значений в этот интервал.

Полигон относительных частот представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x'_i, w_i)$, где $x'_i$ — середина i-го интервала, а $w_i$ — соответствующая ему относительная частота. Для замыкания полигона его крайние точки соединяют с точками на оси абсцисс, отстоящими на половину длины интервала от крайних середин интервалов.

Ответ: Дано словесное описание построения гистограммы и полигона на основе данных из интервальной таблицы.

г) Расчет основных числовых характеристик выборки

Вычислим моду, медиану и среднее арифметическое для исходного (несгруппированного) ряда, так как это дает точные значения.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}$)

Это сумма всех значений, деленная на их количество.

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i = \frac{1}{100} (42 \cdot 1 + 43 \cdot 1 + 44 \cdot 1 + 45 \cdot 1 + 46 \cdot 5 + 47 \cdot 4 + \dots + 72 \cdot 1)$

Сумма всех значений $\sum x_i n_i = 5591$.

$\bar{x} = \frac{5591}{100} = 55.91$

Ответ: Среднее арифметическое выборки равно 55.91.

2. Мода ($M_o$)

Мода — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. Из таблицы частот (пункт а) видно, что значение 59 имеет наибольшую частоту $n_{59} = 13$.

$M_o = 59$

Для интервального ряда модальный интервал (с наибольшей частотой) — [57, 61), его частота 24. Расчетная мода для сгруппированных данных: $M_o \approx 59.32$.

Ответ: Мода выборки равна 59.

3. Медиана ($M_e$)

Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 50-го и 51-го.

Для нахождения этих элементов воспользуемся накопленными частотами из дискретного ряда.Накопленная частота для значения 53 равна 41.Накопленная частота для значения 56 равна $41 + 10 = 51$.Следовательно, элементы с 42-го по 51-й в упорядоченном ряду равны 56.Таким образом, $x_{50} = 56$ и $x_{51} = 56$.

$M_e = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{56 + 56}{2} = 56$

Для интервального ряда медианный интервал (в котором накопленная частота превышает 50) — [53, 57). Расчетная медиана для сгруппированных данных: $M_e \approx 56.69$.

Ответ: Медиана выборки равна 56.

4.33. 169 154 143 155 113 155 171 168 153 136

145 168 122 163 117 165 132 159 107 125

146 152 142 132 152 161 148 136 138 149

151 157 178 149 195 145 166 182 135 136

163 169 165 148 151 153 139 166 138 128

168 157 143 179 165 159 149 141 102 169

179 177 162 149 146 113 151 152 143 157

163 169 155 152 175 177 131 154 174 182

145 153 162 142 173 174 168 153 185 168

168 167 141 148 152 158 152 155 184 181

Для решения задачи проанализируем предоставленную выборку данных. Объем выборки $n = 100$.

а) Вариационный и интервальный ряды распределения

Сначала составим вариационный ряд, для этого упорядочим все значения выборки по возрастанию.
Минимальное значение $x_{min} = 102$.
Максимальное значение $x_{max} = 195$.
Размах варьирования $R = x_{max} - x_{min} = 195 - 102 = 93$.

Далее построим интервальный ряд распределения. Количество интервалов $k$ определим по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$.
Выберем $k=8$ интервалов.

Длина каждого интервала $h$ будет равна:
$h = \frac{R}{k} = \frac{93}{8} = 11.625$. Округлим до $h=12$.

Составим таблицу интервального ряда распределения, указав границы интервалов, частоты ($n_i$ - количество значений в интервале) и относительные частоты ($w_i = n_i / n$).

Ответ: Вариационный ряд представляет собой упорядоченный набор из 100 числовых значений от 102 до 195. Интервальный ряд распределения представлен в таблице выше.

б) Графическое представление данных (гистограмма и полигон частот)

Гистограмма частот строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются интервалы значений. На каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна частоте попадания значений в этот интервал. Для корректного построения высота прямоугольника равна плотности частоты, т.е. $n_i / h$.

Полигон частот представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x_i', n_i)$, где $x_i'$ – середина i-го интервала, а $n_i$ – его частота.

Ответ: Гистограмма и полигон частот строятся на основе данных из таблиц интервального ряда. Гистограмма состоит из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, а высоты равны соответствующим плотностям частот. Полигон частот соединяет точки, соответствующие серединам интервалов и их частотам.

в) Числовые характеристики выборки

Вычислим основные числовые характеристики, используя исходные (несгруппированные) данные для большей точности.

1. Выборочное среднее (среднее арифметическое):
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{15286}{100} = 152.86$

2. Выборочная дисперсия:
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{99}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$
$\sum_{i=1}^{100}x_i^2 = 2368102$
$s^2 = \frac{1}{99}(2368102 - 100 \cdot (152.86)^2) = \frac{1}{99}(2368102 - 2336617.96) = \frac{31484.04}{99} \approx 318.02$

3. Выборочное среднее квадратическое отклонение:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{318.02} \approx 17.83$

4. Мода:
Мода – это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Проанализировав исходные данные, мы видим, что значения 152 и 168 встречаются по 6 раз каждое, что является максимальной частотой. Следовательно, выборка является бимодальной.
$Mo_1 = 152$, $Mo_2 = 168$

5. Медиана:
Медиана – это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 50-го и 51-го.
Из вариационного ряда находим: $x_{50} = 153$ и $x_{51} = 154$.
$Me = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{153 + 154}{2} = 153.5$

Ответ:
Выборочное среднее: $\bar{x} = 152.86$.
Выборочная дисперсия: $s^2 \approx 318.02$.
Среднее квадратическое отклонение: $s \approx 17.83$.
Мода: $Mo_1 = 152$, $Mo_2 = 168$.
Медиана: $Me = 153.5$.

4.34. 132 136 147 124 129 101 125 124 137 108

128 121 138 132 124 119 121 127 130 114

129 131 133 138 126 121 130 128 134 111

112 135 127 106 120 131 117 127 118 118

124 119 131 133 134 125 134 137 123 126

134 126 127 126 127 135 115 141 122 108

127 124 133 134 124 133 131 141 143 129

131 134 139 106 132 121 124 123 121 116

134 126 125 146 139 126 123 137 116 134

133 122 134 107 135 136 132 124 117 112

Для решения задачи сначала необходимо обработать предоставленные данные. Вся выборка состоит из $n=100$ числовых значений. Проведем полный статистический анализ.

Исходные данные:132, 136, 147, 124, 129, 101, 125, 124, 137, 108,128, 121, 138, 132, 124, 119, 121, 127, 130, 114,129, 131, 133, 138, 126, 121, 130, 128, 134, 111,112, 135, 127, 106, 120, 131, 117, 127, 118, 118,124, 119, 131, 133, 134, 125, 134, 137, 123, 126,134, 126, 127, 126, 127, 135, 115, 141, 122, 108,127, 124, 133, 134, 124, 133, 131, 141, 143, 129,131, 134, 139, 106, 132, 121, 124, 123, 121, 116,134, 126, 125, 146, 139, 126, 123, 137, 116, 134,133, 122, 134, 107, 135, 136, 132, 124, 117, 112.

Минимальное значение в выборке $x_{min} = 101$.

Максимальное значение в выборке $x_{max} = 147$.

Размах выборки $R = x_{max} - x_{min} = 147 - 101 = 46$.

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу уникальных значений выборки (вариант $x_i$) и их частот ($n_i$).

Для построения интервального ряда определим количество интервалов по формуле Стерджеса: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n) = 1 + 3.322 \cdot \lg(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 \approx 7.64$. Выберем $k=8$ интервалов.

Длина интервала $h = R/k = 46/8 = 5.75$. Округлим до $h=6$.Определим границы интервалов. Начало первого интервала: $x_{start} = x_{min} - \frac{h-R/k}{2} = 101 - \frac{6-5.75}{2} = 100.875$. Для удобства возьмем начало в точке 100.

Получим следующие интервалы и подсчитаем частоты ($n_i$) попадания значений в каждый из них.

Ответ: Дискретный вариационный и интервальный ряды распределения представлены в таблицах выше.

Среднее выборочное ($\bar{x}$) для исходных (несгруппированных) данных вычисляется по формуле:$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{m} x_i n_i$, где $m$ - число уникальных вариант.

$\sum x_i n_i = (101 \cdot 1) + (106 \cdot 2) + ... + (147 \cdot 1) = 12750$.

$\bar{x} = \frac{12750}{100} = 127.5$.

Мода ($Mo$) — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. Из дискретного вариационного ряда видно, что наибольшая частота $n_i=9$ соответствует значению $x_i = 134$. Следовательно, мода равна 134.

В интервальном ряду наблюдается два смежных модальных интервала с одинаковой максимальной частотой 28: [124, 130) и [130, 136). Это указывает на бимодальное распределение с центром в районе 130.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 50-го и 51-го.

Используя накопленные частоты из дискретного ряда, найдем эти элементы. Сумма частот до значения 126 включительно: $1+2+1+2+1+2+1+1+2+2+2+2+1+5+2+3+8+3+6 = 47$.Следующее значение - 127, оно имеет частоту 6. Значит, элементы с 48-го по 53-й равны 127.Следовательно, $x_{50} = 127$ и $x_{51} = 127$.

$Me = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{127 + 127}{2} = 127$.

Ответ: Среднее выборочное $\bar{x} = 127.5$; Мода $Mo = 134$; Медиана $Me = 127$.

Гистограмма частот строится на основе интервального ряда. По горизонтальной оси откладываются интервалы, а по вертикальной — частоты. Над каждым интервалом строится прямоугольник, высота которого равна частоте данного интервала (так как все интервалы имеют одинаковую ширину).

• Ось X (горизонтальная): границы интервалов (100, 106, 112, 118, 124, 130, 136, 142, 148).
• Ось Y (вертикальная): частоты $n_i$.
• Прямоугольники:
  • Над интервалом [100, 106) — высотой 1.
  • Над интервалом [106, 112) — высотой 6.
  • Над интервалом [112, 118) — высотой 8.
  • Над интервалом [118, 124) — высотой 15.
  • Над интервалом [124, 130) — высотой 28.
  • Над интервалом [130, 136) — высотой 28.
  • Над интервалом [136, 142) — высотой 11.
  • Над интервалом [142, 148) — высотой 3.

Полигон частот строится путем соединения точек, абсциссы которых — середины интервалов, а ординаты — соответствующие частоты. Для замыкания полигона по краям добавляют интервалы с нулевой частотой.

• Ось X (горизонтальная): середины интервалов $x_i^*$.
• Ось Y (вертикальная): частоты $n_i$.
• Точки для соединения: (97, 0), (103, 1), (109, 6), (115, 8), (121, 15), (127, 28), (133, 28), (139, 11), (145, 3), (151, 0). Точки соединяются отрезками прямых.

Ответ: Гистограмма и полигон частот строятся на основе интервального ряда распределения. Гистограмма представляет собой набор прямоугольников, соответствующих частотам интервалов, а полигон — ломаную линию, соединяющую точки с координатами (середина интервала, частота).