Страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. Преобразуйте выражение:

1) $(x - \frac{1}{2})^2$;

2) $(b + \frac{1}{3})^2$;

3) $(a - \frac{1}{5})^2$;

4) $(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})^2$;

5) $(\frac{x}{4} + \frac{y}{3})^2$;

6) $(2\frac{1}{3}m + 1\frac{1}{2}n)^2$;

7) $(5m - \frac{n}{2})^2$;

8) $(9p - \frac{q}{3})^2$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(x - \frac{1}{2})^2$, где $a=x$ и $b=\frac{1}{2}$.

$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$

Ответ: $x^2 - x + \frac{1}{4}$

2)

Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(b + \frac{1}{3})^2$, где $a=b$ и $b=\frac{1}{3}$.

$(b + \frac{1}{3})^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}$

Ответ: $b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}$

3)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(a - \frac{1}{5})^2$, где $a=a$ и $b=\frac{1}{5}$.

$(a - \frac{1}{5})^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^2 = a^2 - \frac{2}{5}a + \frac{1}{25}$

Ответ: $a^2 - \frac{2}{5}a + \frac{1}{25}$

4)

Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})^2$, где $a=\frac{a}{2}$ и $b=\frac{b}{3}$.

$(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})^2 = (\frac{a}{2})^2 + 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{3} + (\frac{b}{3})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{2ab}{6} + \frac{b^2}{9} = \frac{a^2}{4} + \frac{ab}{3} + \frac{b^2}{9}$

Ответ: $\frac{a^2}{4} + \frac{ab}{3} + \frac{b^2}{9}$

5)

Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(\frac{x}{4} + \frac{y}{3})^2$, где $a=\frac{x}{4}$ и $b=\frac{y}{3}$.

$(\frac{x}{4} + \frac{y}{3})^2 = (\frac{x}{4})^2 + 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot \frac{y}{3} + (\frac{y}{3})^2 = \frac{x^2}{16} + \frac{2xy}{12} + \frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{16} + \frac{xy}{6} + \frac{y^2}{9}$

Ответ: $\frac{x^2}{16} + \frac{xy}{6} + \frac{y^2}{9}$

6)

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид $(\frac{7}{3}m + \frac{3}{2}n)^2$.

Применяем формулу квадрата суммы, где $a=\frac{7}{3}m$ и $b=\frac{3}{2}n$.

$(\frac{7}{3}m + \frac{3}{2}n)^2 = (\frac{7}{3}m)^2 + 2 \cdot (\frac{7}{3}m) \cdot (\frac{3}{2}n) + (\frac{3}{2}n)^2 = \frac{49}{9}m^2 + \frac{42}{6}mn + \frac{9}{4}n^2 = \frac{49}{9}m^2 + 7mn + \frac{9}{4}n^2$

Ответ: $\frac{49}{9}m^2 + 7mn + \frac{9}{4}n^2$

7)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(5m - \frac{n}{2})^2$, где $a=5m$ и $b=\frac{n}{2}$.

$(5m - \frac{n}{2})^2 = (5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot \frac{n}{2} + (\frac{n}{2})^2 = 25m^2 - \frac{10mn}{2} + \frac{n^2}{4} = 25m^2 - 5mn + \frac{n^2}{4}$

Ответ: $25m^2 - 5mn + \frac{n^2}{4}$

8)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(9p - \frac{q}{3})^2$, где $a=9p$ и $b=\frac{q}{3}$.

$(9p - \frac{q}{3})^2 = (9p)^2 - 2 \cdot 9p \cdot \frac{q}{3} + (\frac{q}{3})^2 = 81p^2 - \frac{18pq}{3} + \frac{q^2}{9} = 81p^2 - 6pq + \frac{q^2}{9}$

Ответ: $81p^2 - 6pq + \frac{q^2}{9}$

5.4. Преобразуйте выражение в многочлен:

1) $(-a+2)^2;$

2) $(-b-3)^2;$

3) $(-n+4)^2;$

4) $(-x-10)^2;$

5) $(-2x-3y)^2;$

6) $(-\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b)^2;$

7) $(-1\frac{1}{3}x-6)^2;$

8) $(-c+\frac{b}{4})^2.$

1) Выражение $(-a+2)^2$ можно представить как $(2-a)^2$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(2-a)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = 4 - 4a + a^2$.

Записав в стандартном виде, получим: $a^2 - 4a + 4$.

Ответ: $a^2 - 4a + 4$.

2) В выражении $(-b-3)^2$ можно вынести знак минус за скобки. Так как $(-1)^2=1$, выражение равносильно $(b+3)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(b+3)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = b^2 + 6b + 9$.

Ответ: $b^2 + 6b + 9$.

3) Выражение $(-n+4)^2$ можно представить как $(4-n)^2$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(4-n)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot n + n^2 = 16 - 8n + n^2$.

Записав в стандартном виде, получим: $n^2 - 8n + 16$.

Ответ: $n^2 - 8n + 16$.

4) В выражении $(-x-10)^2$ вынесем знак минус за скобки. Выражение будет равно $(x+10)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$.

Ответ: $x^2 + 20x + 100$.

5) В выражении $(-2x-3y)^2$ вынесем знак минус за скобки, что дает $(2x+3y)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2x+3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$.

Ответ: $4x^2 + 12xy + 9y^2$.

6) Выражение $(-\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^2$ можно представить как $(\frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a)^2$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}b \cdot \frac{1}{3}a + (\frac{1}{3}a)^2 = \frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}a^2$.

Записав в стандартном виде (в алфавитном порядке переменных), получим: $\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{4}b^2$.

Ответ: $\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{4}b^2$.

7) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Выражение принимает вид $(-\frac{4}{3}x - 6)^2$. Вынесем минус за скобки: $(\frac{4}{3}x + 6)^2$. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\frac{4}{3}x + 6)^2 = (\frac{4}{3}x)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3}x \cdot 6 + 6^2 = \frac{16}{9}x^2 + \frac{48}{3}x + 36 = \frac{16}{9}x^2 + 16x + 36$.

Ответ: $\frac{16}{9}x^2 + 16x + 36$.

8) Выражение $(-c + \frac{b}{4})^2$ можно представить как $(\frac{b}{4} - c)^2$. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\frac{b}{4} - c)^2 = (\frac{b}{4})^2 - 2 \cdot \frac{b}{4} \cdot c + c^2 = \frac{b^2}{16} - \frac{2bc}{4} + c^2 = \frac{b^2}{16} - \frac{bc}{2} + c^2$.

Ответ: $\frac{b^2}{16} - \frac{bc}{2} + c^2$.

5.5. Используя формулу квадрата суммы или квадрата разности двух выражений, вычислите:

1) $101^{2}=(100+1)^{2}$;

2) $31^{2}$;

3) $51^{2}$;

4) $39^{2}$;

5) $103^{2}$;

6) $99^{2}$;

7) $999^{2}$;

8) $1001^{2}$;

9) $105^{2}$;

10) $52^{2}$.

1) В задании уже указано представление числа 101 в виде суммы. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=100$ и $b=1$.
$101^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
Ответ: 10201.

2) Представим число 31 в виде суммы $30+1$ и применим формулу квадрата суммы, где $a=30$ и $b=1$.
$31^2 = (30+1)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 1 + 1^2 = 900 + 60 + 1 = 961$.
Ответ: 961.

3) Представим число 51 в виде суммы $50+1$ и применим формулу квадрата суммы, где $a=50$ и $b=1$.
$51^2 = (50+1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$.
Ответ: 2601.

4) Представим число 39 в виде разности $40-1$ и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=40$ и $b=1$.
$39^2 = (40-1)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521$.
Ответ: 1521.

5) Представим число 103 в виде суммы $100+3$ и применим формулу квадрата суммы, где $a=100$ и $b=3$.
$103^2 = (100+3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.
Ответ: 10609.

6) Представим число 99 в виде разности $100-1$ и применим формулу квадрата разности, где $a=100$ и $b=1$.
$99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.
Ответ: 9801.

7) Представим число 999 в виде разности $1000-1$ и применим формулу квадрата разности, где $a=1000$ и $b=1$.
$999^2 = (1000-1)^2 = 1000^2 - 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001$.
Ответ: 998001.

8) Представим число 1001 в виде суммы $1000+1$ и применим формулу квадрата суммы, где $a=1000$ и $b=1$.
$1001^2 = (1000+1)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001$.
Ответ: 1002001.

9) Представим число 105 в виде суммы $100+5$ и применим формулу квадрата суммы, где $a=100$ и $b=5$.
$105^2 = (100+5)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 5 + 5^2 = 10000 + 1000 + 25 = 11025$.
Ответ: 11025.

10) Представим число 52 в виде суммы $50+2$ и применим формулу квадрата суммы, где $a=50$ и $b=2$.
$52^2 = (50+2)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$.
Ответ: 2704.

5.6. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $x^2+2xy+y^2$;

2) $a^2+2a+1$;

3) $b^2-6b+9$;

4) $c^2-10c+25$;

5) $4m^2+4m+1$;

6) $16-8c+c^2$.

Чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Нужно определить, какая из формул подходит для каждого выражения, и найти соответствующие значения $a$ и $b$.

1) Для трехчлена $x^2+2xy+y^2$ мы видим, что первый член — это квадрат $x$ ($x^2$), последний член — это квадрат $y$ ($y^2$), а средний член — это удвоенное произведение $x$ и $y$ ($2xy$). Это в точности соответствует формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, где $a=x$ и $b=y$.

Ответ: $(x+y)^2$

2) В выражении $a^2+2a+1$ первый член — это квадрат $a$ ($a^2$), последний член — это $1$, что является квадратом $1$ ($1^2=1$). Средний член $2a$ можно представить как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot 1$. Таким образом, выражение соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=a$ и $y=1$.

Ответ: $(a+1)^2$

3) Трехчлен $b^2-6b+9$ имеет отрицательный средний член, что указывает на формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Здесь первый член $b^2$ — это квадрат $b$. Последний член $9$ — это квадрат $3$ ($3^2=9$). Проверим средний член: удвоенное произведение $b$ и $3$ со знаком минус равно $2 \cdot b \cdot 3 = 6b$. Значит, $b^2-6b+9$ соответствует формуле, где $a=b$ и $b=3$.

Ответ: $(b-3)^2$

4) В выражении $c^2-10c+25$ мы снова видим структуру квадрата разности. Первый член $c^2$ — квадрат $c$. Последний член $25$ — квадрат $5$ ($5^2=25$). Средний член $-10c$ — это удвоенное произведение $c$ и $5$ со знаком минус: $-2 \cdot c \cdot 5 = -10c$. Следовательно, применяем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для $a=c$ и $b=5$.

Ответ: $(c-5)^2$

5) Для трехчлена $4m^2+4m+1$ используем формулу квадрата суммы. Первый член $4m^2$ — это квадрат $2m$, так как $(2m)^2=4m^2$. Последний член $1$ — это квадрат $1$. Средний член $4m$ — это удвоенное произведение $2m$ и $1$: $2 \cdot (2m) \cdot 1 = 4m$. Таким образом, выражение можно свернуть по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=2m$ и $b=1$.

Ответ: $(2m+1)^2$

6) В выражении $16-8c+c^2$ члены расположены не в стандартном порядке, но оно все равно соответствует формуле квадрата разности. Здесь $16$ — это квадрат $4$ ($4^2=16$), $c^2$ — это квадрат $c$. Средний член $-8c$ — это удвоенное произведение $4$ и $c$ со знаком минус: $-2 \cdot 4 \cdot c = -8c$. Таким образом, мы можем применить формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=4$ и $b=c$. Также можно было бы переставить члены: $c^2-8c+16$, что привело бы к результату $(c-4)^2$. Оба ответа эквивалентны, так как $(4-c)^2 = (c-4)^2$.

Ответ: $(4-c)^2$ или $(c-4)^2$