Номер 5.3, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. Преобразуйте выражение:

1) $(x - \frac{1}{2})^2$;

2) $(b + \frac{1}{3})^2$;

3) $(a - \frac{1}{5})^2$;

4) $(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})^2$;

5) $(\frac{x}{4} + \frac{y}{3})^2$;

6) $(2\frac{1}{3}m + 1\frac{1}{2}n)^2$;

7) $(5m - \frac{n}{2})^2$;

8) $(9p - \frac{q}{3})^2$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(x - \frac{1}{2})^2$, где $a=x$ и $b=\frac{1}{2}$.

$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$

Ответ: $x^2 - x + \frac{1}{4}$

2)

Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(b + \frac{1}{3})^2$, где $a=b$ и $b=\frac{1}{3}$.

$(b + \frac{1}{3})^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}$

Ответ: $b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}$

3)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(a - \frac{1}{5})^2$, где $a=a$ и $b=\frac{1}{5}$.

$(a - \frac{1}{5})^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^2 = a^2 - \frac{2}{5}a + \frac{1}{25}$

Ответ: $a^2 - \frac{2}{5}a + \frac{1}{25}$

4)

Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})^2$, где $a=\frac{a}{2}$ и $b=\frac{b}{3}$.

$(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})^2 = (\frac{a}{2})^2 + 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{3} + (\frac{b}{3})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{2ab}{6} + \frac{b^2}{9} = \frac{a^2}{4} + \frac{ab}{3} + \frac{b^2}{9}$

Ответ: $\frac{a^2}{4} + \frac{ab}{3} + \frac{b^2}{9}$

5)

Применяем формулу квадрата суммы для выражения $(\frac{x}{4} + \frac{y}{3})^2$, где $a=\frac{x}{4}$ и $b=\frac{y}{3}$.

$(\frac{x}{4} + \frac{y}{3})^2 = (\frac{x}{4})^2 + 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot \frac{y}{3} + (\frac{y}{3})^2 = \frac{x^2}{16} + \frac{2xy}{12} + \frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{16} + \frac{xy}{6} + \frac{y^2}{9}$

Ответ: $\frac{x^2}{16} + \frac{xy}{6} + \frac{y^2}{9}$

6)

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид $(\frac{7}{3}m + \frac{3}{2}n)^2$.

Применяем формулу квадрата суммы, где $a=\frac{7}{3}m$ и $b=\frac{3}{2}n$.

$(\frac{7}{3}m + \frac{3}{2}n)^2 = (\frac{7}{3}m)^2 + 2 \cdot (\frac{7}{3}m) \cdot (\frac{3}{2}n) + (\frac{3}{2}n)^2 = \frac{49}{9}m^2 + \frac{42}{6}mn + \frac{9}{4}n^2 = \frac{49}{9}m^2 + 7mn + \frac{9}{4}n^2$

Ответ: $\frac{49}{9}m^2 + 7mn + \frac{9}{4}n^2$

7)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(5m - \frac{n}{2})^2$, где $a=5m$ и $b=\frac{n}{2}$.

$(5m - \frac{n}{2})^2 = (5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot \frac{n}{2} + (\frac{n}{2})^2 = 25m^2 - \frac{10mn}{2} + \frac{n^2}{4} = 25m^2 - 5mn + \frac{n^2}{4}$

Ответ: $25m^2 - 5mn + \frac{n^2}{4}$

8)

Применяем формулу квадрата разности для выражения $(9p - \frac{q}{3})^2$, где $a=9p$ и $b=\frac{q}{3}$.

$(9p - \frac{q}{3})^2 = (9p)^2 - 2 \cdot 9p \cdot \frac{q}{3} + (\frac{q}{3})^2 = 81p^2 - \frac{18pq}{3} + \frac{q^2}{9} = 81p^2 - 6pq + \frac{q^2}{9}$

Ответ: $81p^2 - 6pq + \frac{q^2}{9}$