Номер 5.7, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $9a^2-24ab+16b^2$;

2) $4c^2+12c+9$;

3) $25x^2+10x+1$;

4) $81x^2-18xy+y^2$;

5) $m^2+4n^2-4mn$;

6) $100a^2+b^2+20ab$.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$ и квадрат разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$. В каждом случае нужно определить, что является $A$ и $B$, и проверить, совпадает ли средний член с удвоенным произведением $2AB$.

1) $9a^2-24ab+16b^2$

В данном трехчлене первый член $9a^2$ можно представить как $(3a)^2$, а третий член $16b^2$ как $(4b)^2$. Средний член $24ab$ является удвоенным произведением $2 \cdot (3a) \cdot (4b) = 24ab$. Так как перед средним членом стоит знак минус, мы используем формулу квадрата разности.

$9a^2-24ab+16b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (4b) + (4b)^2 = (3a-4b)^2$.

Ответ: $(3a-4b)^2$

2) $4c^2+12c+9$

Представим первый член $4c^2$ как $(2c)^2$, а третий член $9$ как $3^2$. Проверим средний член: $2 \cdot (2c) \cdot 3 = 12c$. Знак перед ним — плюс, следовательно, применяем формулу квадрата суммы.

$4c^2+12c+9 = (2c)^2 + 2 \cdot (2c) \cdot 3 + 3^2 = (2c+3)^2$.

Ответ: $(2c+3)^2$

3) $25x^2+10x+1$

Первый член $25x^2$ — это $(5x)^2$, третий член $1$ — это $1^2$. Средний член $10x$ равен $2 \cdot (5x) \cdot 1 = 10x$. Используем формулу квадрата суммы, так как знак перед средним членом — плюс.

$25x^2+10x+1 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 = (5x+1)^2$.

Ответ: $(5x+1)^2$

4) $81x^2-18xy+y^2$

Представим $81x^2$ как $(9x)^2$ и $y^2$ как $(y)^2$. Средний член $18xy$ — это $2 \cdot (9x) \cdot y = 18xy$. Так как знак перед ним — минус, используем формулу квадрата разности.

$81x^2-18xy+y^2 = (9x)^2 - 2 \cdot (9x) \cdot y + y^2 = (9x-y)^2$.

Ответ: $(9x-y)^2$

5) $m^2+4n^2-4mn$

Для удобства переставим члены: $m^2-4mn+4n^2$. Здесь первый член $m^2$ — это $(m)^2$, а третий $4n^2$ — это $(2n)^2$. Средний член $4mn$ — это $2 \cdot m \cdot (2n) = 4mn$. Используем формулу квадрата разности из-за знака минус.

$m^2-4mn+4n^2 = (m)^2 - 2 \cdot m \cdot (2n) + (2n)^2 = (m-2n)^2$.

Ответ: $(m-2n)^2$

6) $100a^2+b^2+20ab$

Переставим члены, чтобы получить стандартный вид: $100a^2+20ab+b^2$. Первый член $100a^2$ — это $(10a)^2$, третий член $b^2$ — это $(b)^2$. Средний член $20ab$ равен $2 \cdot (10a) \cdot b = 20ab$. Используем формулу квадрата суммы, так как все знаки — плюсы.

$100a^2+20ab+b^2 = (10a)^2 + 2 \cdot (10a) \cdot b + b^2 = (10a+b)^2$.

Ответ: $(10a+b)^2$