Номер 5.8, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:

1) $1+a^2-2a;$

2) $4xy+y^2+4x^2;$

3) $28ab+49a^2+4b^2;$

4) $10mn+100m^2+0,25n^2;$

5) $\frac{1}{4} a^2+4b^2-2ab;$

6) $8ab+b^2+16a^2.$

Для преобразования трехчлена в квадрат двучлена используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

1) $1+a^2-2a$
Переставим члены многочлена, чтобы он соответствовал стандартному виду формулы: $a^2 - 2a + 1$.
Здесь первый член — это $a^2$, второй член — это $1^2$, а средний член $-2a$ является удвоенным произведением $a$ и $1$ со знаком минус: $-2 \cdot a \cdot 1 = -2a$.
Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности.
$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Ответ: $(a-1)^2$

2) $4xy+y^2+4x^2$
Переставим члены многочлена: $4x^2 + 4xy + y^2$.
Первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, т.е. $(2x)^2$.
Третий член $y^2$ является квадратом $y$.
Средний член $4xy$ является удвоенным произведением $2x$ и $y$: $2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$.
Так как средний член имеет знак плюс, применяем формулу квадрата суммы.
$4x^2 + 4xy + y^2 = (2x+y)^2$.
Ответ: $(2x+y)^2$

3) $28ab+49a^2+4b^2$
Переставим члены многочлена: $49a^2 + 28ab + 4b^2$.
Первый член $49a^2$ является квадратом $7a$, т.е. $(7a)^2$.
Третий член $4b^2$ является квадратом $2b$, т.е. $(2b)^2$.
Средний член $28ab$ является удвоенным произведением $7a$ и $2b$: $2 \cdot (7a) \cdot (2b) = 28ab$.
Применяем формулу квадрата суммы.
$49a^2 + 28ab + 4b^2 = (7a+2b)^2$.
Ответ: $(7a+2b)^2$

4) $10mn+100m^2+0,25n^2$
Переставим члены многочлена: $100m^2 + 10mn + 0,25n^2$.
Первый член $100m^2$ является квадратом $10m$, т.е. $(10m)^2$.
Третий член $0,25n^2$ является квадратом $0,5n$, т.е. $(0,5n)^2$.
Средний член $10mn$ является удвоенным произведением $10m$ и $0,5n$: $2 \cdot (10m) \cdot (0,5n) = 10mn$.
Применяем формулу квадрата суммы.
$100m^2 + 10mn + 0,25n^2 = (10m+0,5n)^2$.
Ответ: $(10m+0,5n)^2$

5) $\frac{1}{4}a^2+4b^2-2ab$
Переставим члены многочлена: $\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2$.
Первый член $\frac{1}{4}a^2$ является квадратом $\frac{1}{2}a$, т.е. $(\frac{1}{2}a)^2$.
Третий член $4b^2$ является квадратом $2b$, т.е. $(2b)^2$.
Средний член $-2ab$ является удвоенным произведением $\frac{1}{2}a$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b) = -2ab$.
Применяем формулу квадрата разности.
$\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2 = (\frac{1}{2}a - 2b)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a - 2b)^2$

6) $8ab+b^2+16a^2$
Переставим члены многочлена: $16a^2 + 8ab + b^2$.
Первый член $16a^2$ является квадратом $4a$, т.е. $(4a)^2$.
Третий член $b^2$ является квадратом $b$.
Средний член $8ab$ является удвоенным произведением $4a$ и $b$: $2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$.
Применяем формулу квадрата суммы.
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$.
Ответ: $(4a+b)^2$