Номер 5.13, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Преобразуйте выражение:

1) $(\frac{3}{4}a^2 - 0.5b^3)^2$;

2) $(1\frac{2}{3}x^2 + 0.6y^4)^2$;

3) $(b^n-b)^2$;

4) $(x^m-x)^2$;

5) $(c^{k+1}+c^k)^2$;

6) $(a^m+b^n)^2$.

1) Для преобразования выражения $(\frac{3}{4}a^2 - 0,5b^3)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = \frac{3}{4}a^2$ и $y = 0,5b^3$. Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ для удобства вычислений.
Выполним возведение в квадрат по частям:
- Квадрат первого члена: $(\frac{3}{4}a^2)^2 = (\frac{3}{4})^2 \cdot (a^2)^2 = \frac{9}{16}a^4$.
- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{1}{2}b^3 = (2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2})a^2b^3 = \frac{6}{8}a^2b^3 = \frac{3}{4}a^2b^3$.
- Квадрат второго члена: $(\frac{1}{2}b^3)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (b^3)^2 = \frac{1}{4}b^6$.
Соединив все части, получаем: $\frac{9}{16}a^4 - \frac{3}{4}a^2b^3 + \frac{1}{4}b^6$.
Ответ: $\frac{9}{16}a^4 - \frac{3}{4}a^2b^3 + \frac{1}{4}b^6$.

2) Для преобразования выражения $(1\frac{2}{3}x^2 + 0,6y^4)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Сначала преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби.
$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, выражение имеет вид $(\frac{5}{3}x^2 + \frac{3}{5}y^4)^2$.
Применим формулу:
- Квадрат первого члена: $(\frac{5}{3}x^2)^2 = (\frac{5}{3})^2 \cdot (x^2)^2 = \frac{25}{9}x^4$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot \frac{5}{3}x^2 \cdot \frac{3}{5}y^4 = (2 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5})x^2y^4 = 2x^2y^4$.
- Квадрат второго члена: $(\frac{3}{5}y^4)^2 = (\frac{3}{5})^2 \cdot (y^4)^2 = \frac{9}{25}y^8$.
Результат: $\frac{25}{9}x^4 + 2x^2y^4 + \frac{9}{25}y^8$.
Ответ: $\frac{25}{9}x^4 + 2x^2y^4 + \frac{9}{25}y^8$.

3) Выражение $(b^n - b)^2$ преобразуется по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = b^n$ и $y = b$. Применим правила действий со степенями: $(a^m)^k = a^{mk}$ и $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
- Квадрат первого члена: $(b^n)^2 = b^{n \cdot 2} = b^{2n}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot b^n \cdot b = 2 \cdot b^n \cdot b^1 = 2b^{n+1}$.
- Квадрат второго члена: $b^2$.
Результат: $b^{2n} - 2b^{n+1} + b^2$.
Ответ: $b^{2n} - 2b^{n+1} + b^2$.

4) Выражение $(x^m - x)^2$ преобразуется по аналогии с предыдущим примером, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = x^m$ и $b = x$.
- Квадрат первого члена: $(x^m)^2 = x^{m \cdot 2} = x^{2m}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot x^m \cdot x = 2 \cdot x^m \cdot x^1 = 2x^{m+1}$.
- Квадрат второго члена: $x^2$.
Результат: $x^{2m} - 2x^{m+1} + x^2$.
Ответ: $x^{2m} - 2x^{m+1} + x^2$.

5) Для выражения $(c^{k+1} + c^k)^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = c^{k+1}$ и $b = c^k$. Используем правила действий со степенями.
- Квадрат первого члена: $(c^{k+1})^2 = c^{(k+1) \cdot 2} = c^{2k+2}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot c^{k+1} \cdot c^k = 2c^{(k+1)+k} = 2c^{2k+1}$.
- Квадрат второго члена: $(c^k)^2 = c^{k \cdot 2} = c^{2k}$.
Результат: $c^{2k+2} + 2c^{2k+1} + c^{2k}$.
Ответ: $c^{2k+2} + 2c^{2k+1} + c^{2k}$.

6) Выражение $(a^m + b^n)^2$ является общим случаем возведения в квадрат суммы двух одночленов. Используем формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = a^m$ и $y = b^n$.
- Квадрат первого члена: $(a^m)^2 = a^{m \cdot 2} = a^{2m}$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot a^m \cdot b^n = 2a^mb^n$.
- Квадрат второго члена: $(b^n)^2 = b^{n \cdot 2} = b^{2n}$.
Результат: $a^{2m} + 2a^mb^n + b^{2n}$.
Ответ: $a^{2m} + 2a^mb^n + b^{2n}$.