Номер 5.19, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Решите уравнение:

1) $4x^2-(2x-1)^2=15;$

2) $9x^2-1=(3x-2)^2;$

3) $(3x+1)^2-(3x-1)^2=11x+1,2;$

4) $(5+2y)(y-3)-2(y-1)^2=0.$

1) $4x^2-(2x-1)^2=15$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$4x^2-( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 ) = 15$

$4x^2-(4x^2-4x+1)=15$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$4x^2-4x^2+4x-1=15$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x-1=15$

Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$4x=15+1$

$4x=16$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{16}{4}$

$x=4$

Ответ: $4$.

2) $9x^2-1=(3x-2)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$9x^2-1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2$

$9x^2-1=9x^2-12x+4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$9x^2-9x^2+12x=4+1$

Приведем подобные слагаемые:

$12x=5$

Разделим обе части уравнения на 12, чтобы найти $x$:

$x=\frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$.

3) $(3x+1)^2-(3x-1)^2=11x+1,2$

Применим к левой части уравнения формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$( (3x+1) - (3x-1) )( (3x+1) + (3x-1) ) = 11x+1,2$

Раскроем внутренние скобки:

$(3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1) = 11x+1,2$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(2)(6x)=11x+1,2$

$12x=11x+1,2$

Перенесем $11x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$12x-11x=1,2$

$x=1,2$

Ответ: $1,2$.

4) $(5+2y)(y-3)-2(y-1)^2=0$

Раскроем скобки. Сначала перемножим первые два многочлена, а для второго слагаемого применим формулу квадрата разности:

$(5 \cdot y + 5 \cdot (-3) + 2y \cdot y + 2y \cdot (-3)) - 2(y^2-2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) = 0$

$(5y-15+2y^2-6y) - 2(y^2-2y+1) = 0$

Приведем подобные слагаемые в первой скобке:

$(2y^2-y-15) - 2(y^2-2y+1) = 0$

Раскроем вторые скобки, умножив каждое слагаемое на $-2$:

$2y^2-y-15 - 2y^2+4y-2 = 0$

Приведем подобные слагаемые во всем выражении:

$(2y^2-2y^2) + (-y+4y) + (-15-2) = 0$

$3y-17=0$

Перенесем $-17$ в правую часть уравнения:

$3y=17$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $y$:

$y=\frac{17}{3}$

Можно также представить ответ в виде смешанной дроби:

$y=5\frac{2}{3}$

Ответ: $5\frac{2}{3}$.