Номер 5.25, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25. Докажите равенство:

1) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$;

2) $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

1)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Представим куб суммы как произведение этой суммы на ее квадрат:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь выполним умножение многочленов, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ доказано.

2)

Для доказательства второго равенства поступим аналогично. Представим куб разности как произведение этой разности на ее квадрат:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a-b)(a^2-2ab+b^2)$

Выполним умножение многочленов:

$a(a^2-2ab+b^2) - b(a^2-2ab+b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ доказано.