Номер 5.30, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $((a+b)^2)^2;$

2) $(a-b)^4.$

1)

Чтобы представить выражение $((a+b)^2)^2$ в виде многочлена, можно воспользоваться свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$.

$((a+b)^2)^2 = (a+b)^{2 \cdot 2} = (a+b)^4$

Теперь раскроем выражение $(a+b)^4$. Это можно сделать, представив его как квадрат выражения $(a+b)^2$.

$(a+b)^4 = ((a+b)^2)^2$

Сначала найдем $(a+b)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь возведем полученный трехчлен в квадрат:

$(a+b)^4 = (a^2 + 2ab + b^2)^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата трехчлена $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$, где $x=a^2$, $y=2ab$ и $z=b^2$.

$(a^2 + 2ab + b^2)^2 = (a^2)^2 + (2ab)^2 + (b^2)^2 + 2(a^2)(2ab) + 2(a^2)(b^2) + 2(2ab)(b^2)$

Выполним действия:

$= a^4 + 4a^2b^2 + b^4 + 4a^3b + 2a^2b^2 + 4ab^3$

Приведем подобные слагаемые, расположив их в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $a$):

$= a^4 + 4a^3b + (4a^2b^2 + 2a^2b^2) + 4ab^3 + b^4$

$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

2)

Чтобы представить выражение $(a-b)^4$ в виде многочлена, представим его как квадрат выражения $(a-b)^2$:

$(a-b)^4 = ((a-b)^2)^2$

Сначала найдем $(a-b)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь возведем полученный трехчлен в квадрат:

$(a^2 - 2ab + b^2)^2$

Сделаем это по аналогии с первым пунктом, используя формулу квадрата трехчлена:

$= (a^2)^2 + (-2ab)^2 + (b^2)^2 + 2(a^2)(-2ab) + 2(a^2)(b^2) + 2(-2ab)(b^2)$

Выполним действия:

$= a^4 + 4a^2b^2 + b^4 - 4a^3b + 2a^2b^2 - 4ab^3$

Приведем подобные слагаемые, расположив их в порядке убывания степени переменной $a$:

$= a^4 - 4a^3b + (4a^2b^2 + 2a^2b^2) - 4ab^3 + b^4$

$= a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$