Номер 5.31, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Разложите на множители:

1) $x^3+6x^2+11x+6;$

2) $a^5+a^4+a^3+a^2+a+1.$

1) Чтобы разложить многочлен $x^3+6x^2+11x+6$ на множители, можно найти один из его корней. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим значение многочлена при $x = -1$:
$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.
Следовательно, $x = -1$ является корнем, а $(x+1)$ — одним из множителей многочлена.
Чтобы найти остальные множители, можно разделить многочлен $x^3+6x^2+11x+6$ на $(x+1)$ "уголком" или использовать метод группировки. Воспользуемся вторым методом, представив слагаемые $6x^2$ и $11x$ в удобном виде:
$x^3+6x^2+11x+6 = x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3+x^2) + (5x^2+5x) + (6x+6)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1)$
Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)(x^2+5x+6)$
Оставшийся квадратный трехчлен $x^2+5x+6$ разложим на множители. Его корнями являются числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$. Это числа $-2$ и $-3$.
Значит, $x^2+5x+6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x+2)(x+3)$.
Окончательное разложение многочлена:
$(x+1)(x+2)(x+3)$.

Ответ: $(x+1)(x+2)(x+3)$

2) Для разложения многочлена $a^5+a^4+a^3+a^2+a+1$ на множители применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем слагаемые по три:
$(a^5+a^4+a^3) + (a^2+a+1)$
Вынесем общий множитель $a^3$ из первой группы:
$a^3(a^2+a+1) + 1(a^2+a+1)$
Теперь вынесем общий множитель $(a^2+a+1)$ за скобки:
$(a^3+1)(a^2+a+1)$
Первый множитель, $a^3+1$, является суммой кубов. Используем формулу разложения суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3+1^3 = (a+1)(a^2 - a\cdot1 + 1^2) = (a+1)(a^2-a+1)$
Подставив это разложение в наше выражение, получаем окончательный результат:
$(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$.

Ответ: $(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$