Вопросы, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

3. Докажите формулу (3).

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?

Пусть у нас есть два произвольных алгебраических выражения, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

Разность этих выражений будет $a - b$.

Сумма этих выражений будет $a + b$.

Требуется найти их произведение: $(a - b)(a + b)$.

Для этого раскроем скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго):

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Так как $a \cdot b$ и $b \cdot a$ — это одно и то же, мы можем записать:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Два средних члена, $ab$ и $-ab$, являются противоположными, и их сумма равна нулю, поэтому они взаимно уничтожаются:

$a^2 - b^2$

Это выражение называется разностью квадратов.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

Разность квадратов двух выражений $a$ и $b$ — это выражение вида $a^2 - b^2$.

Эта формула является одной из основных формул сокращенного умножения. Она утверждает, что разность квадратов двух выражений можно разложить на множители, которые представляют собой произведение разности и суммы этих выражений.

Математически это записывается следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

3. Докажите формулу (3).

Из контекста предыдущих вопросов следует, что под "формулой (3)" подразумевается формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Доказательство этого тождества заключается в преобразовании одной части равенства к виду другой. Проще всего преобразовать правую часть, раскрыв скобки.

Возьмем правую часть равенства: $(a - b)(a + b)$.

Применим распределительный закон умножения (умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки):

$(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $b \cdot a = a \cdot b$, получаем:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые. Члены $+ab$ и $-ab$ в сумме дают ноль и сокращаются:

$a^2 - b^2$

Таким образом, мы преобразовали правую часть $(a - b)(a + b)$ и получили левую часть $a^2 - b^2$. Равенство $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ является тождеством.

Ответ: Доказательство выполнено путем раскрытия скобок в выражении $(a - b)(a + b)$, что приводит к $a^2 + ab - ab - b^2$, и после сокращения подобных членов мы получаем $a^2 - b^2$. Таким образом, тождество $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ доказано.