Номер 5.40, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.40. Вычислите:

1) $(30+1)(30-1)$;

2) $61 \cdot 59$;

3) $199 \cdot 201$;

4) $72 \cdot 68$;

5) $55^2-45^2$;

6) $41^2-31^2$;

7) $76^2-24^2$;

8) $37^2-23^2$.

1) Для вычисления этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a=30$ и $b=1$.
Подставим значения в формулу: $(30+1)(30-1) = 30^2 - 1^2 = 900 - 1 = 899$.
Ответ: 899.

2) Чтобы упростить вычисление, представим числа 61 и 59 в виде суммы и разности одного и того же числа. Таким числом является их среднее арифметическое: $(61+59)/2 = 120/2 = 60$.
Тогда $61 = 60+1$, а $59 = 60-1$.
Теперь произведение можно записать как $(60+1)(60-1)$. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$61 \cdot 59 = (60+1)(60-1) = 60^2 - 1^2 = 3600 - 1 = 3599$.
Ответ: 3599.

3) Аналогично предыдущему пункту, представим множители через их среднее арифметическое, которое равно $(199+201)/2 = 400/2 = 200$.
$199 = 200-1$, а $201 = 200+1$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$199 \cdot 201 = (200-1)(200+1) = 200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999$.
Ответ: 39999.

4) Представим множители 72 и 68 через их среднее арифметическое: $(72+68)/2 = 140/2 = 70$.
$72 = 70+2$, а $68 = 70-2$.
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:
$72 \cdot 68 = (70+2)(70-2) = 70^2 - 2^2 = 4900 - 4 = 4896$.
Ответ: 4896.

5) Для вычисления этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов в обратном порядке: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном случае $a=55$ и $b=45$.
Подставим значения в формулу: $55^2 - 45^2 = (55-45)(55+45) = 10 \cdot 100 = 1000$.
Ответ: 1000.

6) Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a=41$ и $b=31$.
$41^2 - 31^2 = (41-31)(41+31) = 10 \cdot 72 = 720$.
Ответ: 720.

7) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a=76$ и $b=24$.
$76^2 - 24^2 = (76-24)(76+24) = 52 \cdot 100 = 5200$.
Ответ: 5200.

8) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a=37$ и $b=23$.
$37^2 - 23^2 = (37-23)(37+23) = 14 \cdot 60 = 840$.
Ответ: 840.