Номер 5.32, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(a^3-3a^2b+b)(2a^2+2ab-3b^2)$;

2) $(a+3b)(a-3b).$

1) Чтобы представить выражение $(a^3-3a^2b+b)(2a^2+2ab-3b^2)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные результаты.

Выполним умножение поэтапно:

Умножим $a^3$ на второй многочлен:

$a^3 \cdot (2a^2+2ab-3b^2) = a^3 \cdot 2a^2 + a^3 \cdot 2ab - a^3 \cdot 3b^2 = 2a^5 + 2a^4b - 3a^3b^2$

Умножим $-3a^2b$ на второй многочлен:

$-3a^2b \cdot (2a^2+2ab-3b^2) = (-3a^2b) \cdot 2a^2 + (-3a^2b) \cdot 2ab - (-3a^2b) \cdot 3b^2 = -6a^4b - 6a^3b^2 + 9a^2b^3$

Умножим $b$ на второй многочлен:

$b \cdot (2a^2+2ab-3b^2) = b \cdot 2a^2 + b \cdot 2ab - b \cdot 3b^2 = 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Теперь сложим все полученные одночлены:

$(2a^5 + 2a^4b - 3a^3b^2) + (-6a^4b - 6a^3b^2 + 9a^2b^3) + (2a^2b + 2ab^2 - 3b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a^5 + \underline{2a^4b} - \underline{\underline{3a^3b^2}} - \underline{6a^4b} - \underline{\underline{6a^3b^2}} + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

$= 2a^5 + (2a^4b - 6a^4b) + (-3a^3b^2 - 6a^3b^2) + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

$= 2a^5 - 4a^4b - 9a^3b^2 + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Ответ: $2a^5 - 4a^4b - 9a^3b^2 + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

2) Для преобразования выражения $(a+3b)(a-3b)$ в многочлен, можно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x$ соответствует $a$, а $y$ соответствует $3b$.

Применим формулу:

$(a+3b)(a-3b) = a^2 - (3b)^2$

Теперь возведем в квадрат второй член:

$(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$

Подставим результат обратно в выражение:

$a^2 - 9b^2$

Ответ: $a^2 - 9b^2$