Страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Разложите на множители:

1) $x^3+6x^2+11x+6;$

2) $a^5+a^4+a^3+a^2+a+1.$

1) Чтобы разложить многочлен $x^3+6x^2+11x+6$ на множители, можно найти один из его корней. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим значение многочлена при $x = -1$:
$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.
Следовательно, $x = -1$ является корнем, а $(x+1)$ — одним из множителей многочлена.
Чтобы найти остальные множители, можно разделить многочлен $x^3+6x^2+11x+6$ на $(x+1)$ "уголком" или использовать метод группировки. Воспользуемся вторым методом, представив слагаемые $6x^2$ и $11x$ в удобном виде:
$x^3+6x^2+11x+6 = x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3+x^2) + (5x^2+5x) + (6x+6)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1)$
Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)(x^2+5x+6)$
Оставшийся квадратный трехчлен $x^2+5x+6$ разложим на множители. Его корнями являются числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$. Это числа $-2$ и $-3$.
Значит, $x^2+5x+6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x+2)(x+3)$.
Окончательное разложение многочлена:
$(x+1)(x+2)(x+3)$.

Ответ: $(x+1)(x+2)(x+3)$

2) Для разложения многочлена $a^5+a^4+a^3+a^2+a+1$ на множители применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем слагаемые по три:
$(a^5+a^4+a^3) + (a^2+a+1)$
Вынесем общий множитель $a^3$ из первой группы:
$a^3(a^2+a+1) + 1(a^2+a+1)$
Теперь вынесем общий множитель $(a^2+a+1)$ за скобки:
$(a^3+1)(a^2+a+1)$
Первый множитель, $a^3+1$, является суммой кубов. Используем формулу разложения суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3+1^3 = (a+1)(a^2 - a\cdot1 + 1^2) = (a+1)(a^2-a+1)$
Подставив это разложение в наше выражение, получаем окончательный результат:
$(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$.

Ответ: $(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$

5.32. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(a^3-3a^2b+b)(2a^2+2ab-3b^2)$;

2) $(a+3b)(a-3b).$

1) Чтобы представить выражение $(a^3-3a^2b+b)(2a^2+2ab-3b^2)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные результаты.

Выполним умножение поэтапно:

Умножим $a^3$ на второй многочлен:

$a^3 \cdot (2a^2+2ab-3b^2) = a^3 \cdot 2a^2 + a^3 \cdot 2ab - a^3 \cdot 3b^2 = 2a^5 + 2a^4b - 3a^3b^2$

Умножим $-3a^2b$ на второй многочлен:

$-3a^2b \cdot (2a^2+2ab-3b^2) = (-3a^2b) \cdot 2a^2 + (-3a^2b) \cdot 2ab - (-3a^2b) \cdot 3b^2 = -6a^4b - 6a^3b^2 + 9a^2b^3$

Умножим $b$ на второй многочлен:

$b \cdot (2a^2+2ab-3b^2) = b \cdot 2a^2 + b \cdot 2ab - b \cdot 3b^2 = 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Теперь сложим все полученные одночлены:

$(2a^5 + 2a^4b - 3a^3b^2) + (-6a^4b - 6a^3b^2 + 9a^2b^3) + (2a^2b + 2ab^2 - 3b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a^5 + \underline{2a^4b} - \underline{\underline{3a^3b^2}} - \underline{6a^4b} - \underline{\underline{6a^3b^2}} + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

$= 2a^5 + (2a^4b - 6a^4b) + (-3a^3b^2 - 6a^3b^2) + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

$= 2a^5 - 4a^4b - 9a^3b^2 + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Ответ: $2a^5 - 4a^4b - 9a^3b^2 + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

2) Для преобразования выражения $(a+3b)(a-3b)$ в многочлен, можно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x$ соответствует $a$, а $y$ соответствует $3b$.

Применим формулу:

$(a+3b)(a-3b) = a^2 - (3b)^2$

Теперь возведем в квадрат второй член:

$(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$

Подставим результат обратно в выражение:

$a^2 - 9b^2$

Ответ: $a^2 - 9b^2$

5.33. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 920 км, одновременно навстречу друг другу отправились два поезда, причем скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч расстояние между поездами составляло 70 км. Найдите скорости поездов.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость одного поезда равна $v$ км/ч. Согласно условию, скорость второго поезда на 10 км/ч больше, следовательно, она равна $(v+10)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми составляет $S = 920$ км. Скорость их сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v + (v+10) = (2v+10)$ км/ч.

Через $t = 5$ часов расстояние между поездами составило 70 км. Это условие можно трактовать двумя способами, так как не указано, произошла ли встреча поездов. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Поезда еще не встретились.

Если поезда еще не встретились, то за 5 часов они вместе преодолели расстояние, равное разности начального и конечного расстояний между ними.

Суммарное пройденное расстояние: $S_{пр1} = 920 \text{ км} - 70 \text{ км} = 850$ км.

Это расстояние также можно выразить через скорость сближения и время: $S_{пр1} = v_{сбл} \cdot t$.

Составим и решим уравнение:

$(2v+10) \cdot 5 = 850$

Разделим обе части уравнения на 5:

$2v+10 = \frac{850}{5}$

$2v+10 = 170$

Вычтем 10 из обеих частей:

$2v = 170 - 10$

$2v = 160$

Найдем $v$:

$v = \frac{160}{2} = 80$ км/ч.

Это скорость первого (более медленного) поезда. Скорость второго поезда будет:

$v+10 = 80+10 = 90$ км/ч.

Ответ: скорости поездов равны 80 км/ч и 90 км/ч.

Случай 2: Поезда встретились и продолжили движение.

Если поезда уже встретились и разъехались, то суммарное расстояние, которое они преодолели, равно начальному расстоянию между пунктами плюс расстояние, на которое они удалились друг от друга после встречи.

Суммарное пройденное расстояние: $S_{пр2} = 920 \text{ км} + 70 \text{ км} = 990$ км.

Скорость удаления поездов после встречи равна их скорости сближения до встречи: $v_{уд} = v_{сбл} = (2v+10)$ км/ч. Пройденное расстояние равно $S_{пр2} = v_{уд} \cdot t$.

Составим и решим новое уравнение:

$(2v+10) \cdot 5 = 990$

Разделим обе части уравнения на 5:

$2v+10 = \frac{990}{5}$

$2v+10 = 198$

Вычтем 10 из обеих частей:

$2v = 198 - 10$

$2v = 188$

Найдем $v$:

$v = \frac{188}{2} = 94$ км/ч.

Это скорость первого поезда. Скорость второго поезда будет:

$v+10 = 94+10 = 104$ км/ч.

Ответ: скорости поездов равны 94 км/ч и 104 км/ч.

5.34. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

1) $0.25x^4$

2) $49a^6$

3) $4m^2n^4$

4) $0.04a^6b^4$

1) Чтобы представить выражение в виде квадрата одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого извлечем квадратный корень из числового коэффициента и разделим показатели степеней переменных на 2.

Для выражения $0,25x^4$:

Квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{0,25} = 0,5$.

Новый показатель степени для переменной $x$: $4 \div 2 = 2$.

Таким образом, исходное выражение является квадратом одночлена $0,5x^2$.

Проверка: $(0,5x^2)^2 = 0,5^2 \cdot (x^2)^2 = 0,25x^4$.

Ответ: $(0,5x^2)^2$.

2) Для выражения $49a^6$:

Квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{49} = 7$.

Новый показатель степени для переменной $a$: $6 \div 2 = 3$.

Получаем одночлен $7a^3$.

Проверка: $(7a^3)^2 = 7^2 \cdot (a^3)^2 = 49a^6$.

Ответ: $(7a^3)^2$.

3) Для выражения $4m^2n^4$:

Квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{4} = 2$.

Новый показатель степени для переменной $m$: $2 \div 2 = 1$.

Новый показатель степени для переменной $n$: $4 \div 2 = 2$.

Получаем одночлен $2m^1n^2$ или $2mn^2$.

Проверка: $(2mn^2)^2 = 2^2 \cdot m^2 \cdot (n^2)^2 = 4m^2n^4$.

Ответ: $(2mn^2)^2$.

4) Для выражения $0,04a^6b^4$:

Квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{0,04} = 0,2$.

Новый показатель степени для переменной $a$: $6 \div 2 = 3$.

Новый показатель степени для переменной $b$: $4 \div 2 = 2$.

Получаем одночлен $0,2a^3b^2$.

Проверка: $(0,2a^3b^2)^2 = 0,2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 0,04a^6b^4$.

Ответ: $(0,2a^3b^2)^2$.